差分法介绍

原题

我们计划在多个电商平台销售某件商品，给出n个不同的电商平台的该商品的售价区间，请给出该商品在所有电商平台的售价总和最高的最低商品定价。有如下示例，我们有3个平台的售价区间prices = {{7,9},{8,10},{9,10}}，可以将商品定价在9元，商品总售价是9 * 3 = 27元，如下图所示

基本思路

题目的意思是先保证总售价最高，在这个前提下使得商品的单价最低，比较直观的思路，建立一个hash表，unordered_map<int, int> price，表示某个price的平台数目，比如示例中price[7] = 1, price[8] = 2, price[9] = 3, price[10] = 1，然后将hash表中的键和值相乘，求最大值，如果有多个值相同，取键比较小的那个。本题目的难点在于如何以比较低的复杂度建立hash表，常规思路是\(O(n^2)\)，可以参考下面的题目。

参考题

先看这道题，1109. 航班预订统计，有n 个航班，它们分别从 1 到 n 进行编号。我们这儿有一份航班预订表，表中第 i 条预订记录 bookings[i] = [i, j, k] 意味着我们在从 i 到 j 的每个航班上预订了 k 个座位。请你返回一个长度为 n 的数组 answer，按航班编号顺序返回每个航班上预订的座位数。参考示例如下，

输入：bookings = [[1,2,10],[2,3,20],[2,5,25]], n = 5
输出：[10,55,45,25,25]

解题思路

将这道题的示例画一张表格表示一下，就是下面的结果

booking	1	2	3	4	5
1	10	10	0	0	0
2	0	20	20	0	0
3	0	25	25	25	25
total	10	55	45	25	25

常规思路就是以航班号为基本坐标，计算每一个航班增加的座位数，然后逐项汇总相加即可。

1. 设置初始结果vector<int> res(n, 0);
2. 遍历bookings，每次取其中的航班的预定数，添加到res对应的数组中，比如第1个booking，那么res[0]+=10; res[1]+=10，依次类推，直到遍历截止。

上面的算法比较简单直观，但是可以分析发现，算法的复杂度有点高，两层遍历算法时间复杂度是\(O(n^2)\)，空间复杂度是\(O(n)\)不甚理想。

有没有复杂度更简单的思路呢？这里有一个类比公交站的思路，可以将航班号码比作公交站牌，比如1号公交站，2号公交站，假定这些公交站是依次按顺序分布在一条直线公路上，第i个航班的飞机的预定数目就是公交车在第i个公交站发车时候的乘客数目（包括了上车和下车的乘客数）。

举例说明，第1行表示，第1站交车上人数是10，说明公交车行驶到第1站时上车10人，到第2站时候车上的乘客仍然是10人，说明没有乘客上下车，到第3站时候车上乘客0人，说明此时有10人下车。如果使用长度为N的数组count表示每一站上下乘客的变化量(count[i] 表示第i + 1站上下车的乘客变化量），

对于booking = [i,j,k]，

1. 表示在公交站第i站上车k人，count[i - 1] += k；
2. 第i + 1站直到第j站都没有乘客上下车，count[i],...,count[j - 1]无操作；
3. 在第j + 1站下车k人，所以count[j] -= k

为了方便起见，我们缩小问题的规模，以具体的数字代替抽象的代数字母，假如我们就只有3个公交站，取示例中的前2行，

1. 公交车刚开始上的人数是0，vector<int> count(4, 0)；
2. 读取第1行，到达第1站，公交车上10人，说明上车10人，无人下车，count[0]+= 10，到达第2站公交车上依然是10人，说明也无人上车和下车，到达第3站，公交车上0人，说明10人下车，count[2] -= 10；
3. 读取第2行，公交车到达第2站，公交车上20人，说明上车20人无人下车，count[1] += 20，第3站车上20人，说明无人下车，第4站车上0人，说明有20人下车, count[3]-=20。

遍历结束，得到count = {10, 20, -10，-20}，那么最后每个站点的乘客数就很清楚了，到达第1站前车上乘客0人，到达后上车10人，所以第1站发车前车上10人，第2站到站后上车20人，所以第2站发车前车上乘客10 + 20 = 30人，第3站到站后下车10人，所以发车前车上乘客 30 - 10 = 20人。意思搞清楚之后，代码就很好写了。

vector<int> corpFlightBookings(vector<vector<int>>& bookings, int n) {
        vector<int> res(n, 0);
        vector<int> counter(n + 1, 0);
        for (auto &booking : bookings)
        {
            int start = booking[0];
            int end = booking[1];
			// 记录每个booking的开始和结尾即可，中间的站点人数无变化
            counter[start - 1] += booking[2]; // start站上车
            counter[end] -= booking[2]; // end + 1站下车
        }
        res[0] = counter[0];
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            res[i] = res[i - 1] + counter[i];
        }
        return res;
    }

时间复杂度为\(O(n)\)。

原题代码

借鉴参考题的代码，原题的代码如下

int GetBestPrice(vector<vector<int>>& prices) {

    // find the minimum and maximum price
    int minVal = INT_MAX;
    int maxVal = INT_MIN;
    unordered_map<int, int> priceTable;
    for (auto& price : prices) {
        minVal = min(price[0], minVal);
        maxVal = max(price[1], maxVal); 
    }
    for (int i = minVal; i < maxVal + 1; i++) {
        priceTable[i] = 0;
    }  
    // counter[0]代表第minVal站，注意此处的对应关系
    int len = maxVal - minVal + 1;
    vector<int> counter(len + 1, 0);

    for (auto& price : prices)
    {
        int start = price[0] - minVal + 1;
        int end = price[1] - minVal + 1;
        
        counter[start - 1] += 1; // start站上车
        counter[end] -= 1; // end + 1站下车
    }
    
    priceTable[minVal] = counter[0];
    int bestPrice = minVal;
    maxVal = minVal * priceTable[minVal];
    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        priceTable[minVal + i] = priceTable[minVal + i - 1] + counter[i];
        if (priceTable[minVal + i] * (minVal + i) > maxVal) {
            maxVal = priceTable[minVal + i] * (minVal + i);
            bestPrice = minVal + i;
        }
    }

    return bestPrice;    
}