抽象代数学习笔记（16）子环

定义：设\((R,+,*)\)是个环，\(S\)是\(R\)的一个非空子集。如果\(+\)和\(*\)也是\(S\)的运算，且\((S,+,*)\)也是个环，则说\((S,+,*)\)是\((R,+,*)\)是的一个子环。在所指运算不混淆时，简称\(S\)是\(R\)的一个子环。

在介绍环的时候，提到的偶数环是有理数环的子环。

\((R,+,*)\)是一个环，判断\(R\)的非空子集\(S\)是否是\(R\)的子环，一般有下面几种方法：

方法一：

1. 对任意\(a,b\in S\)，有\(a+b\in S\)；
2. 对任意\(a\in S\)，有\(-a\in S\)；
3. 对任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。

方法二：

1. \((S,+)\)是\((R,+)\)的子群；
2. 对任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。

方法三：

1. 对任意\(a,b\in S\)，有\(a-b\in S\)；
2. 对任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。

上面三个方法可行性的证明不难（前面关于群的几篇博文有类似命题，证明思路是一样的），这几个方法可以用来证明下面的命题。

设\(S_a,a\in I\)都是\(R\)的子环，那么他们的交集\(\cap_{a\in I}S_a\)也是\(R\)的子环。

首先，由环以及子环的定义可知\(S_a\)非空；\(S_a\)作为子环，\(0\in S_a,a\in I\)，所以，\(0\in \cap_{a\in I}S_a\)，从而\(S\)非空。进一步的，对任意的\(a,b\in S\)，应有\(a,b\in S_\alpha,\alpha\in I\)，而\(S_\alpha\)是\(R\)的子环，从而对每个\(\alpha\in I\)都有\(a-b\in S_\alpha\)，根据\(S\)的定义，必有\(a-b\in S\)。同理，对任意的\(a,b\in S\)，应有\(a,b\in S_\alpha,\alpha\in I\)，而\(S_\alpha\)是\(R\)的子环，从而对每个\(\alpha\in I\)都有\(ab\in S_\alpha\)。综上，\(S\)是\(R\)的子环。

上述命题的证明中，因为\(S_a\)的特殊性，\(S\)必然是非空的。现在我们对\(S_a\)做一些限制，并提出生成子环的概念。

\(R\)是个环，\(a\in R\)，做\(R\)的子环族
\(A=\{S\)是\(R\)的子环\(|a\in S\}\)
我们把子环\(\cap_{S\in A}S\)称为\(R\)的由元素\(a\)生成的子环，记为\(<a>\)。

我们也可以用一个子集来生成一个子环：\(R\)是个环，\(T\)是\(R\)的非空子集，做\(R\)的子环族
\(A=\{S\)是\(R\)的子环\(|T\subseteq S\}\)
我们把子环\(\cap_{S\in A}S\)称为由\(T\)生成的子环，记为\(<T>\)。