抽象代数学习笔记（15）环

定义：设集合\(R\)上有两种二元运算，一个叫加法，记为\(+\);一个叫乘法，记为\(*\)，且\((R,+)\)是个交换群；乘法\(*\)在\(R\)上是结合的；对任意\(a,b,c\in R\)，都有\(a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a\)，则说\((R,+,*)\)是个结合环，简单地，说它是个环。

例如：整数集，有理数集，复数集在相应的运算下分别是个环。

一般而言，要证明某个代数系统是环时，要仔细考虑其上算律，尤其是分配律的证明，当满足了一侧的分配律时，另一侧的分配律未必是同理可证。

定义：设\((R,+,*)\)是个环，如果\(R\)的乘法有单位元\(e\)，则说\(R\)是个有单位元环或者有1环。对于环\(R\)的元素\(a\)，若有\(b\neq 0\)以及\(c\neq 0\)使得\(ab=0\)且\(ca=0\)，则说\(a\)是\(R\)的一个零因子。如果\(R\)不含非零的零因子，则称\(R\)为无零因子环；如果\(R\)上的乘法满足交换律，则说\(R\)是个交换环。有1的交换的无零因子环称为整环。

整数环，实数环都是整环，但是，偶数环不是，它的乘法没有单位元。

上述定义提到了“非零的零元素”，“非零”中的“零”指的是\((R,+)\)中的零元素，它与\(R\)中任意元素\(a\)相乘得到结果为\(0\)。证明如下：

\(0*a=(0+0)*a\)

\(0*a=0*a+0*a\)

\(0=0*a\)

需要指出的是，零元素不是零因子。

例如，所有2阶方阵在矩阵加法和矩阵乘法下构成环零元素记为0。对于非零矩阵

\[m=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right]\]

存在矩阵

\[ a=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right], b=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \]

使得\(ma=bm=0\)，显然\(m\)不是一个单位，并且是一个零因子。

设\(R\)是个有单位元\(1\)的环，\(R\)的元素\(a\)称为\(R\)的一个单位，如果有\(b\in R\)使\(ab=ba=1\).

例如，整数环中元素1是一个单位。实数环所有非零元素都是单位。