抽象代数学习笔记（14）商群

上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。

如果 \(N\) 是不变子群，那么利用 \(N\) 可以导出　\(G\) 上的一个等价关系，　\(a~b\) 当且仅当　\(a^{-1}b\in N\) ，也就是 \(a,b\)　同属于　\(N\) 的一个左陪集。

（证明：
首先\(a^{-1}a\in N\)，说明关系满足自反性；其次，因为\(a^{-1}b\in N\),所以\(a(a^{-1}b)a^{-1}=ba^{-1}\in N,b(a^{-1}b)b^{-1}=ba^{-1}\in N\)，满足对称性；\(a^{-1}b\in N,b^{-1}c\in N\)，则\(a^{-1}bb^{-1}c=ac^{-1}\in N\)，满足传递性。
）

因为 \(N\) 是不变子群，它的左陪集就是右陪集,此处简称陪集。对于 \(N\) 确定的等价关系，我们可以得到 \(G\) 的一个商集 \(\bar G\),它的每个元素都是 \(N\) 的一个陪集。现在要做的就是将任意群 \(G\) 对于不变子群 \(N\) 的商集定义成群，得到所谓的商群。

定理１　设 \(N\) 是群 \(G\) 的一个不变子群，\(G/N\) 代表 \(G\) 对 \(N\) 的所有陪集构成的集合，规定任意 \(aN,bN\in G/N\) ,对应 \(G/N\) 的元素 \((a*b)N\), 则得到 \(G/N\) 的一个运算，记为 \(\#\)，即
\(aN\#bN=(a*b)N\)，进一步 \((G/N,\#)\) 是个群。

要证明定理１，首先要证明 \((a*b)N\) 是由 \(aN,bN\) 唯一确定的，而与陪集代表元的选择无关。

设 \(a_1N=a_2N,b_1N=b_2N\)，那么，必有 \(u,v\in N\) 使得 \(a_1=a_2u,b_1=b_2v\)，从而 \(a_1*b_1=a_2*(u*b_2)*v\)，因为 \(N\) 是 \(G\) 的不变子群，而 \(u*b_2\in Nb_2=b_2N\)，又必有 \(w\in N\)，使 \(u*b_2=b_2*w\)，于是 \(a_1*b_1=a_2*b_2*(w*v)\)，其中 \(w*v\in N\)，也就是说 \((a_1*b_1)N=(a_2*b_2)N\)。
这样就说明了无论代表元如何选取，得到的都是同一个陪集。接下来证明得到的是群即可。

定义１ \(N\) 是群 \((G,*)\) 的不变子群，在商集 \(G/N\) 中规定 \(aN\#bN=(a*b)N; aN,bN\in G/N\)，则 \((G/N,\#)\) 构成群，称之为群 \((G,*)\) 对不变子群 \(N\) 的商群。

这里需要注意两件事：首先，证明运算 \(\#\) 的合理性是必要的；其次，商群\(G/N\) 的运算 \(\#\) 特指定义1中的那种运算。

• 如果\(G\)是个群，\(N\)是\(G\)的不变子群，那么映射\(f:G\rightarrow G/N\)，\(f(a)=aN\)，对任意\(a\in G\)是满同态映射，且\(Ker(f)=N\)。

• 同态基本定理：设\((G,*),(H,+)\)都是群，\(f\)是\(G\)到\(H\)的满同态映射，\(ker(f)=K\)，那么有映射\(\varphi :G/K\rightarrow H\)，使得
  \(\varphi (aK)=f(a),\forall aK\in G/K\)，并且，\(\varphi\)是\(G/K\)到\(H\)的同构映射。