抽象代数学习笔记（13）群的同态
抽象代数学习笔记（13）群的同态
前面在证明一个映射是否为同构映射的时候，都是先证明映射是一个双射，再证明它是否为同构映射。一个映射为双射是它为同构映射的必要条件。一般来说，条件越多，满足所有条件的可能性就越小，所以人们往往会推而广之，减少条件，使某个概念满足更加普遍的情况（就像矩阵的逆和它的左逆，右逆）。对于同构来说，就有一个更加一般性的概念 --- 同态。同态并不要求映射是一个双射，只需要是个满射即可。直观的说，同态映射的像会比原来的群要“小”一些。
设 \((G,+),(H,* )\) 是群,那么 \(G\) 到 \(H\) 的映射 \(f\) 称为 \(G\) 到 \(H\) 的同态映射。 对任意的 \(a,b\in G\) ，都有
\[f(a+b)=f(a)* f(b) \]
与同构映射一样，同态映射有一些重要特征：
- \(f(e_G)=e_H\)
这个命题的证明与同构中那个命题的证明方法类似。
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射，则对于 \(G\) 中任意元素 \(g\) ， \(f(g)^{-1}=f(g^{-1})\)
由于 \(f(g)* f(g^{-1})=f(g+g^{-1})=f(e_G)=e_H\)，且 \(f(g)* f(g)^{-1}=e_H\) ，因此 \(f(g)^{-1}=f(g^{-1})\) 。
- \(f\) 是 \(G\) 到 \(H\) 的同态映射，那么 \(H\) 中恒等元 \(e_H\) 的原像
\(K=f^{-1}(e_H)=\{g\in G|f(g)=e_H\}\) 是 \(G\) 的不变子群。\(K\) 称为映射 \(f\) 的核，记为 \(Ker(f)\) 。
注意一点， \(f^{-1}\) 并非逆映射，因为同态映射不需要满足双射，所以可能不存在逆映射，仅仅只是表示原像，下面出现的 \(f^{-1}\) 也是一样。
上面这个命题中，证明 \(K\) 是 \(G\) 的一个子群并不难，这里主要说明为何 \(K\) 是 \(G\) 的不变子群。设 \(k\) 是 \(K\) 中的任意元素， \(g\) 是 \(G\) 中的任意元素，那么 \(f(g+k+g^{-1})=f(g)* f(k)* f(g^{-1})=f(g)* e_H* f(g^{-1})=e_H\) ，这说明对于任意的 \(k\in K,g\in G,g+k+g^{-1}\in K\)，因此 \(K\) 是不变子群。
- 两个同态映射的合成还是同态映射。
对于同态映射 \(f:G->H,g:H->K\)
这说明映射 \(gf\) 还是一个同态映射。
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射， \(g\) 是 \((H,* )\) 到 \((K,-)\) 的同态映射。那么，有 \(Ker(gf)=f^{-1}(Ker(g))\)
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射， \(g\) 是 \((H,* )\) 到 \((K,-)\) 的同态映射，那么 \(Img(gf)=g(Img(f))\)
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射，如果 \(A\) 是 \(G\) 的子群，则 \(f(A)\) 是 \(H\) 的子群，如果 \(B\) 是 \(H\) 的子群，则 \(f(B)\) 是 \(G\) 的子群。
设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射,而且 \(f\) 是满的，那么称 \((H,* )\) 是 \((G,+)\) 的一个同态像。
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射， \(A\) 是 \(G\) 的不变子群， \(B\) 是 \(H\) 的不变子群，那么 \(f(A)\) 是 \(H\) 的不变子群， \(f^{-1}(B)\) 是 \(G\) 的不变子群。
- 设 \(f\) 是 \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的同态映射，那么 \(f\) 是单射的充要条件是 \(Ker(f)=\{e_G\}\)
- \((G,+)\) 到 \((H,* )\) 的满同态映射 \(f\) 是同构映射，当且仅当 \(Ker(f)=\{e_H\}\)
