抽象代数学习笔记（12）群上的可逆映射

上一篇博客介绍了几种重要的群上的可逆变换，由于篇幅限制，没有写完，剩余的内容将在这一篇中了结。

设 \(G\) 是个群， \(a\) 是 \(G\) 的一个固定元素，通过 \(a\) 可以导出 \(G\) 到 \(G\) 的映射 \(\gamma\) ，

\[\gamma_a(x)=axa^{-1} \]

那么， \(\gamma_a\) 是 \(G\) 到 \(G\) 的同构映射，称为内自同构。

这个命题的证明和左乘变换的证明是类似的。首先证明这是一个可逆变换， \(\gamma_a\) 可以认为是左乘变换和右乘变换的乘积，两个可逆映射的乘积依然是可逆映射。进一步，

\[\gamma_a(xy)=a(xy)a^{-1}=(axa^{-1})(aya^{-1})=\gamma_a(x)\gamma_a(y) \]

所以 \(\gamma_a\) 是同构映射。

在抽象代数中，内自同构一般总是和不变子群联系在一起，这里先说明一下，不变子群是个非常重要的概念。

设 \(G\) 是个群， \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，如果 \(H\) 在每个内自同构映射下都不变。即对于任意的 \(a\in G,h\in H\) ，都有

\[aha^{-1}\in H \]

则说 \(H\) 是 \(G\) 的不变子群或者正规子群。

容易看出， \(\{e\},G\) 都是 \(G\) 的不变子群，它们称为 \(G\) 的平凡的不变子群。

交换群的任意子群也是不变的，因为 \(aha^{-1}=aa^{-1}h=h\in H\) 。当不能满足交换律的情况下，满足下面这个条件也是可以的：

\[对任意的g\in G,gH=Hg \]

另外，如果 \(N,H\) 是不变子群，那么 \(NH\) 也是不变子群。如果有若干个不变子群，他们的交集也是不变子群。

如果一个群只有平凡的不变子群，那么，这个群被称作单群。