抽象代数学习笔记（11） 群上的可逆映射
之前写对称群的时候提到过，任意非空集合 \(A\) 上的所有可逆映射在映射合成下构成群。现在，我们把这种构成群的方式从集合推广到群上，也就是群 \(G\) 上所有可逆变换在映射合成下构成的群 \(I(G)\) 。这里先说一个结论：任意群必然同构于 \(I(G)\) 的一个子群。其意义在于，一般的群因为提出背景不同，在形式上千差万别，有了这个结论，只要研究群上可逆映射构成的群，其他的群也就清楚了。这也是自开始学习同构与同态时，我经常强调的。
设 \((G,* )\) 是个群，将 \(G\) 上的可逆映射称之为 \(G\) 的可逆变换。 \(G\) 上所有可逆变换在映射合成下构成群，记为 \(I(G)\) 。显然，同构映射也是一个可逆变换， \(G\) 到 \(G\) 本身的同构映射称为自同构。
自同构有一条重要性质：将 \(G\) 上的所有自同构记为 \(Aut(G)\) ， \(Aut(G)\) 是 \(I(G)\) 的一个子群。
证明很简单，首先设 \(f,g\in Aut(G)\) ， \(f*g\) 也是同构映射，也就是说 \(f*g\in Aut(G)\) 。其次，若 \(f\in Aut(G)\) 那么 \(f^{-1}\) 也是同构映射，即 \(f^{-1}\in Aut(G)\) 。最后，恒等映射 \(i_G\) 是个同构映射， \(i_G\in Aut(G)\)。
除了同构映射，群 \(G\) 上还有很多可逆变换，接下来要引入的左乘变换就是一种可逆变换。
设 \(G\) 是一个群， \(a\) 是 \(G\) 的一个固定元素，通过 \(a\) 可以获得 \(G\) 上的一个变换 \(\lambda_a\) ，规定每个 \(x\in G,\lambda_a(x)=ax\) ，则 \(\lambda_a\) 是 \(G\) 上的可逆变换，称为 \(a\) 的左乘变换。
显然， \(\lambda_a\) 是单射，这里主要说明一下，为何 \(\lambda_a\) 是满射：任取 \(g\in G,由于aa^{-1}g=g,\lambda_a(a^{-1}g)=g\)，因为 \(g\) 的任意性，所以 \(\lambda_a\) 是满射。综上， \(\lambda_a\) 是一个双射，即 \(\lambda_a\in I(G)\) 。
现在我们知道群 \(L\) 是 \(G\) 所有左乘变换构成的集合，也是群 \(G\) 上所有可逆变换集合的一个子集。而且 \(L\) 在映射合成下，构成 \(I(G)\) 的子群。证明子群的方法与自同构那个类似。
群 \(L\) 最重要的性质是，它是同构于群 \(G\) 的。证明如下：
定义映射 \(f:G->L,f(a)=\lambda_a,a\in G\) ，首先说明 \(f\) 是个双射。若 \(a,b\in G,a\neq b,则ae\neq be，也就是说，\lambda_a \neq \lambda_b,f\) 是单射。而 \(L\) 中的每一个元素 \(\lambda_a\) 是 \(G\) 中的元素 \(a\) 导出的，所以 \(f\) 是满射。进一步的，对任意 \(x\in G\):
因此，群 \(L\) 同构于群\(G\) 。
结合上述几个结论，可以得到著名的凯莱定理：每个群 \(G\) 都同构于其上所有可逆变换构成的群 \(I(G)\) 的一个子群。
该定理的一个推论是：每个 \(n\) 阶有限群都同构于 \(n\) 阶对称群的一个子群。
限于篇幅，还有部分内容放到下一节介绍。
