抽象代数学习笔记（10）群的同构

历史上，不同的文明发明了他们自己的计数方法。比如 \(\{一,二,三...\},\{one,two,three...\}\) 等等。但是在数学上，我们认为这些计数方法本质是一样的，只是符号不同。或者说这些计数方法之间可以通过某种方式对应起来，当我们说计数方法\(A\)的一个符号\(a\)，就可以对应到计数方法\(B\)的一个符号\(b\) 。于是，就有了同构的概念。

设 \((G,+)\) 是个群，\((H,\#)\) 也是个群，如果 \(f:G->H\) 是个双射，且对任意 \(a,b\in G\) ，恒有

\[f(a+b)=f(a)\#f(b) \]

则说 \(f\) 是 \(G\) 到 \(H\) 的同构映射，如果有 \(G\) 到 \(H\) 的同构映射，就说 \((G,+),(H,\#)\) 同构。有时简单地说 \(G\) 和 \(H\) 同构，或 \(G\) 同构于 \(H\) 。

举个简单的例子：全体整数在加法下构成的群 \(G\) 与全体偶数在加法下构成的群 \(H\) 同构。显然， \(f(x)=2x\) 。

同构有一些重要的性质在以后会经常遇到，另外，有一些典型的同构映射将会是解决问题的利器。

• \(f(e_G)=e_H\)
• \(f(a^{-1})=f(a)^{-1}\)
• 任意 \(n\) 阶循环群同构于 \((I_n,+)\)
• 任意无限循环群同构于整数加法群 \((I,+)\)
• \((G,+),(H,\#)\) 同构，若 \(G\) 是循环群，那么 \(H\) 也是循环群。
• 设 \(A\) 是有 \(n\) 个元素集合， \(G\) 是 \(A\) 上所有可逆映射在映射合成下构成的群，则 \(G\) 同构于 \(S_n\) 。

从上面的性质可以看出，研究一些形式比较复杂的群，完全可以用一个与之同构的，形式简单的群代替，这也是为什么会在之前学习循环群等代数结构的原因。当然，我们接触的群的例子比较少，深入代数领域后，还会学习不少具有代表性的群。