抽象代数学习笔记（8）循环群
抽象代数学习笔记（8）循环群
在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特别的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根据这些，我们可以引出循环群的概念：
群\(G\)称为循环群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=<g>\)。
其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如：
这样 \(g,g^2,g^3\)在矩阵乘法下构成群。
上面举的例子是一个有限群，应该不难发现，这种循环群的特点是，生成元素与通过幂运算（在乘法群）得到的元素可以构成群。
上面的例子还有个特点，\(g^4=g,g^3=e\)。这是不少循环群的：
在循环群 \(G=<g>\) 中，如果有不同的整数 \(r,k\)使得\(g^r=g^k\)，则存在整数\(m\)使得：
- \(g^m=e\)
- 当 \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)
- 若有整数t，\(g^t=e\)，则 \(m整除t\)
- \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\)
如果对于任意不同的 \(r,k,g^r\neq g^k\)，那么 \(<g>\) 是一个无限群。
现在，根据是否存在不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，我们可以将循环群分为两类。而这两类循环群在结构上也具有各自的性质：
若存在不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，那么 \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\)，对任意的 \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)。
若对任意不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r\neq g^k\)，那么 \(<g>=\{...,g^{-2},g^{-1},e,g,g^2,...\}\)
有时也将这两条性质成为循环群结构定理。
比如整数在加法下构成的群，就有第二条性质陈述中的那种结构，而整数加法群可以写成 \(<1>\)，类似的例子还有很多，这儿就不一一举出了。
下篇博文的主题是阶数，它与有限循环群有些关系，大家可以考虑一下第一种循环群中 \(g^m=e\)这条性质。
