抽象代数学习笔记（7）对称群与置换群
抽象代数学习笔记（7）对称群与置换群
我刚接触抽象代数的那段时间，一直在考虑一个问题，抽象代数有什么实际应用。后来听说，群在研究一些具有对称性质的对象时有奇效。于是我试着用群去描述一些简单的几何变换，发现确实如此。这就是我在置换那篇文章的最后让大家思考等边三角形变换的原因。
如果大家在看群的定义时，回想一下集合 \(S=\{1,2,...n\}\) 上的所有置换，不难发现这些置换也能构成群。这个群被叫做对称群，记为 \(S_n\)。而 \(S_n\) 的任意一个子群被称作置换群。
为了了解置换的性质，我们用循环的乘积表示置换。
如果 \(n\) 阶置换 \(P\) 把 \(k\) 个数码 \(i_1,i_2,...i_k\)按如下方式对应：
\[P(i_1)=i_2,\ P(i_2)=i_3,\ ...,\ P(i_k)=i_1 \]而对于其余数码 \(x,p(x)=x\) 。则说 \(P\) 是一个 \(k\) 循环。记作
\[P=(i_1,i_2,...i_n) \]
当然，一个循环不止一种写法。\((i_1,i_2,...i_n)和(i_2,i_3,...i_n,i_1)\) 是一个循环。
两个循环是不交的，如果两个循环中的数码都不相同。如果两个循环不交，那么这两个循环显然是可以交换位置的。例如置换
中有两个循环 \((1,2,3),(5,6)\) ，那么这两个循环无论以何种方式复合，结果都是
我们再来看一下循环本身，最简单的循环是只有两个数码的循环，比如上面那个例子中的 \((5,6)\) ，要研究那些大的循环，可否将任意一个循环表示成若干2循环的乘积呢？答案当然是肯定的。还是上面那个例子，循环 \((1,2,3)\) 可以表示成 \((1,3)(1,2)\)。注意，这两个2循环是相交的，所以不能交换位置。
现在我们介绍两个置换群的子群：
- 设\(S=\{1,2,...,n\}\)，\(G\) 是 \(S\) 上的一个置换群，\(T\) 是 \(S\) 的任意一个子集，令
\(G_T=\{P \in G|P(t)=t, t\in T\}\)，那么 \(G_T\) 是G的一个子群。证明很简单：首先，恒等置换 \(i_s\) 必然属于\(G_T\)，并且是 \(G_T\) 的单位元；其次，如果 \(P,Q\in G_T\)，那么对于 \(T\) 中任意元素 \(t\)，\((PQ)(t)=t\)，也就是说 \(PQ\in G_T\)；最后，如果\(P\in G_T\)，那么 \((PP^{-1})(t)=(P^{-1}P)(t)=t\)。故\(G_T\) 是G的一个子群。 - 设\(S=\{1,2,...,n\}\)，\(G\) 是 \(S\) 上的一个置换群，\(T\) 是 \(S\) 的任意一个子集，令
\(G^T=\{P \in G|P(t)\subseteq T\}\)，那么 \(G^T\) 是G的一个子群。证明方法与上面类似，只是需要说明 \(P(t)\subseteq T\) 和 \(P(t)=T\) 其实是等价的。
这两个子群， \(G_T\) 使 \(T\) 中的元素保持不动，\(G^T\) 使 \(T\) 中的元素只在 \(T\) 中变动，所以 \(G_T\subseteq G^T\)。讲完这些回想一下置换一文中提到的三角形变换：
循环 \((1,2),(2,3),(1,3)\) 代表的置换可以构成形如 \(G_T\) 的子群。\(T\) 分别对应 \(\{3\},\{1\},\{2\}\)。从几何的角度说，\(T\) 称之为对称轴。
循环 \((1,2,3),(2,3,1)\) 代表的置换可以构成形如 \(G^T\) 的子群。几何意义是对三角形做120°旋转变换。
置换群还有很多例子,建议高中化学学得不错的小伙伴考虑考虑手性分子结构。对密码学有兴趣的可以搜一下移位密码(一种移位密码)，移位密码一般用环论解释，但个人认为用群论也能够理解。密码学不太了解,如果这里说的有问题，不吝赐教。
