抽象代数学习笔记（5） 运算
抽象代数学习笔记（5）运算
“运算”这个名词大家从小学就应该接触了，比如“四则运算”等等。不过在那个时候，运算一直是一个很模糊的概念，究竟什么是运算？我们接触的“加减乘除”为什么都被称作运算，它们在本质上有相同的地方？
设\(S\)是个非空集合，把\(S×S\)到\(S\)的映射称之为\(S\)上的二元运算，简称为\(S\)上的运算.
和我们之前说的映射一样，运算的定义离不开集合，因此谈论运算一定要说清楚运算是定义在哪个集合上。例如：映射\(f:x/y,(x,y) \in R×R\) 是一个运算，但是\(f:x/y,(x,y) \in I×I\)不是一个运算。
运算有两个基础性质：结合律，交换律。
若 \((a*b)*c=a*(b*c)\) ，那么说运算*满足结合律
若 \(a*b=b*a\) ，那么说运算*满足交换律
这两个性质在大家学习初等代数的时候似乎是自然成立的，那是因为，之前接触的实数集合上的四则运算恰好满足了这两个性质。需要指出的是，在广义的运算上，这两条性质不一定成立。最简单的例子就是矩阵乘法不满足交换律。有些代数系统甚至不满足结合律，这些非结合代数是代数的一个重要研究领域。
运算定义的那个集合中可能会出现一个比较特殊的元素\(e\)，对于集合\(S\)任意元素\(s\)，有
元素\(e\)称为运算的单位元或者中性元。注意一下，这个元素不一定存在。
另外，还有一个特殊元素叫做零元。零元的概念一般出现在环论中，它的定义是对于集合\(S\)任意元素\(s\)，如果存在元素\(z\),满足：
一个常见的零元是整数乘法中的整数0，对于整数集合中的任意元素\(i\)，都有\(i*0=0*i=0\)。或许，零元的名称就是这么来的。
到这里，学习抽象代数的预备知识就介绍完了，之后就要向大家介绍群---一个很基本的代数系统。
