抽象代数学习笔记（3）映射

映射的概念高中数学中就已经引入了，最近我翻看了一下高中数学教材，书中对映射做了这样的定义：

映射的定义：设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则\(f\)，使得对A中的每个元素a，按法则\(f\)，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称\(f\)为从A到B的映射，记作\(f：A→B\)。

其中，b称为元素a在映射f下的象，记作： \(b=f\)(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合称为映射\(f\)的值域，记作\(f\)(A)。

对比上一篇博文中介绍的关系，我猜，部分读者已经发现映射的这种定义与某些特殊“关系”的定义并不矛盾，事实也确实是如此，映射是可以从关系的角度定义的。

映射的定义'：集合A，B是非空集合，A \(\times\) B有一类子集R，如果 \(\forall a\in A\),有且只有一个 \(b\in B\),使得 \((a,b)\in R\)，称关系R为映射关系。

当然，将映射定义为一种对应规则的做法更加普遍。因此，以后我们把映射作为一种对应规则看待，并且直接称其为“映射”而非“映射关系”。

根据第一种定义方式，集合A中所有元素的象构成的集合称为值域，如果值域等于集合B，那么称映射\(f\)是满射；如果集合A中不同元素在B中的象也不同，那么称映射\(f\)是单射。如果映射f既是满射，又是单射，那么称\(f\)是双射。

映射可以进行复合，但需要注意以下几点：

• 存在\(g*f\)不一定有\(f*g\)
• 即使\(g*f\)和\(f*g\)都存在，也不一定有\(g*f=f*g\)

我们现在可以根据映射复合的概念定义可逆映射，但在此之前，需要引入恒等映射恒等映射。恒等映射的定义非常简单，也很容易理解：

\(f\)是集合A到自己的映射，如果元素a的象就是它自己，那么称\(f\)是恒等映射。记作\(i_A\)

现在我们来介绍可逆映射：

设\(f：A→B\)，如果存在映射\(g：B→A\)，使得\(g*f=i_A,f*g=i_B\)，那么\(f\)是可逆映射。

判断\(f\)是否是一个可逆映射，只需要判断\(f\)是否为双射即可。

最后要说的概念很简单，但是相当重要，那就是我们从高中起经常接触的“定义域”和“值域”。“定义域”就是映射中的集合A，“值域”是集合A中所有元素的象的集合，回想一下满射的定义你会知道值域是B的一个子集（不一定是真子集）。需要指出的是，离开“定义域”“值域”谈映射是没有任何意义的，这一点，可能从映射的定义' 的角度看更加直观。这里举一个例子：

• 判断 \(R=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}\) 是不是一个映射关系。

这个例子的提法当然是有问题的，因为连\(x，y\)的范围都没有给出。如果\(x\in [-1,1],y\in [-1,1]\)，那么R不是映射关系。如果如果\(x\in [-1,1],y\in [0,1]\)，那么R是映射关系。因此切记要定义映射时要给出定义域以及值域。

小结

为了一般性，我们介绍映射时，通常把映射的定义域和值域设为两个不同的集合。不过我希望大家能考虑一下定义域和值域为同一个集合的映射，尤其是可逆映射，这是置换的基础，也是日后在研究群时，经常会遇到的映射。因为本人懒惰，很多概念就不在文章中介绍啦，大家可以去找别的资料作为参考。