抽象代数学习笔记（1） 集合

1、集合

“集合”这个概念很难给出定义。“集合”被提出不久后，围绕集合的各种悖论也接踵而至，这里给出一个比较有名的悖论：
$$S={s|s\notin S}$$
如果s是集合S中的元素，那么根据S的定义，它不属于S；如果s不是集合S中的元素，那么根据S的定义，它属于S，于是一个“自相矛盾”的局面产生了。这就是著名的罗素悖论，相关的悖论还有很多，这些悖论都是围绕集合的定义产生的。后来，为了解决这些问题，数学家们提出了公理集合论，这是后话，属于集合论的范畴，这里不展开讨论。

抽象代数是代数的一个分支，而研究代数，其实就是研究集合以及定义在这个集合之上的运算。因此在学习抽象代数时只需要搞清楚集合由哪些元素构成，一个元素是否属于这个集合即可。

首先给出集合相等的定义：如果两个集合拥有相同的元素，那么两个集合相同。记作：\(A=B\)

2、子集

集合A是集合B的子集，当且仅当A中的元素一定也是B中的元素，记作\(A\subseteq B\)，如果\(A\ne B\)，那么称A是B的真子集，记作\(A\subset B\)。集合S 的所有子集构成的集合称为S的幂集。

3、集合的运算

在学习集合的运算之前，需要记住一点，代数中的集合不能为空集，否则无法定义运算。因此在学习代数时不考虑空集的情况。

3.1、交

集合A，B的交集定义为：

\[A\cap B=\{s|s\in A \ and\ s\in B \} \]

也就是同属于A，B的元素构成的集合。

3.2、并

集合A，B的并集定义为：

\[A\cup B=\{s|s\in A\ or\ s\in B \} \]

即两个集合A，B中所有元素构成的集合。

3.3、笛卡尔积

集合A，B的笛卡尔积定义为：

\[A×B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} \]

它是由两个集合中的元素构成的有序对。

4、子集族和指标集

设J是一个非空集合，对于每个\(j\in J\)，对应集合S的一个子集\(S_j\)，则通常说，

\[\{S_j|S_j\subseteq S,j\in J\} \]

是S的一个以J为标号的子集族，J称为指标集。

小结

以上就是关于集合的基础知识。小弟不是数学系出身，才疏学浅，如有错误，在所难免，烦请各位大神不吝赐教^_