Sqrt(x)

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

 

传说中的牛顿法，请查看百度百科

某人说我偷懒，那我就决定还是翻些资料出来比较好。。。

牛顿法主要用于两方面，一是求方程根，二是最优化处理。

求方程根的原理是利用泰勒公式在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x - x0)f'(x0)

 

求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x = x1=x0 - f(x0)/f'(x0)，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x - x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0。

因此，不断对方程式进行迭代，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，最后，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。整个过程如下图：

 

该题要求某数的正平方根，因此可以构造函数 f(x) = x² - a，f(x) = 0 选取x1 = 1 利用泰勒公式进行展开，可以得出一系列x2,x3,x4....，当x(n-1)和x(n)之间差值近乎为0，这是可以认为已经收敛，x(n)是方程f(x) = x² - a的解。

 

class Solution {
public:
    int sqrt(int a) {
        if( a <= 0 ) return 0;
        double x1 = 0;
        double x2 = 1;
        while( abs( x1-x2 ) > 1e-7 ) {
            x1 = x2;
            x2 = x1/2 + 1.0*a / (2*x1);
        }
        return x1;
    }
};