二项式反演

二项式反演

所谓二项式反演，实际上就是一种容斥

我们设满足条件Pi的集合为Ai

那么对于所有的i，都不满足条件P的集合为

\[|!A1∩ !A2∩⋯∩ !An|=\\|S|−∑|Ai|+∑|Ai∩Aj|+⋯+(−1)^n∑|A1∩A2∩⋯∩An| \]

我们设

\[g_i=|A1∩A2∩···Ai|\\ g_0=S \]

于是

\[|!A1∩ !A2∩⋯∩ !An|=\\g_0−C_{n}^{1}g_1+C_{n}^{2}g_2+...+(-1)^nC_{n}^{n}g_n \]

由于左边的项只与个数有关

我们设

\[f_i=|!A1∩!A2...∩!Ai|\\ f_0=S \]

同理

\[|A1∩ A2∩⋯∩ An|=\\f_0−C_{n}^{1}f_1+C_{n}^{2}f_2+...+(-1)^nC_{n}^{n}f_n=g_n \]