问题描述:
有N种物品,每种物品有无限量可选。每种物品对应的重量和价值分别为w[i]和p[i]。用容量为V的背包,任意选取。怎样使总价值最大。
一、笨方法,也是最容易理解的方式:
考虑dp[i][V]表示剩余容量为V,可选物品种类为i时的最优解。
那么第i件的选择方式有两种:
1、不选:dp[ i ][ v ] = dp[ i-1 ][ v ] 和01背包一样。
2、选:选几件?k = 1 2 3 .. v/w[i] dp[ i ][ v ] = max{ dp[ i-1 ][ v-k*w[i] ] + k*p[ i ] }
综合起来,k取值从0 到 v/w[i],就覆盖了上述两种情况。
代码出来了:
for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=V;j++) { for(k=0;k <= j/w[i-1];k++) { dp[i][j] = max_2(dp[i][j], dp[i-1][ j-k*w[i-1] ] + k*p[i-1]); } } }
二、开始优化了
1、把上面选择的方式更改一下:
不选的话,依旧是 dp[ i ][ v ] = dp[ i - 1 ][ v ]
选的话,可以用递归来实现:先选1件,再在剩下的i种物品中选。转化为另一个子问题。
dp[ i ][ v ] = dp[ i ][ v - w[i] ] + p[ i ]
代码如下:
for(i=1;i<=n;i++) { for(j=w[i-1];j<=V;j++) { dp[ i ][ j ] = max_2( dp[i-1][j],dp[ i ][ j-w[i-1] ] + p[i-1] ); } }
2、考虑01背包中的空间优化,最终用第i次循环结束后的dp[v]表示dp[i][v] 。
为了保证 每次循环开始时,取到的dp[v] 就是 dp[i][v],采用顺序计算。
int main() //优化 { int i,j,k; int dp[6] = {0}; int w[3] = {3,2,2}; int p[3] = {5,10,20}; int n = 3; int V = 5; for(i=0;i<n;i++) { for(j=w[i];j<=V;j++) { dp[j] = max_2( dp[j],dp[j-w[i]] + p[i]); } } return 0; }