匈牙利算法

　　首先来了解下一些概念性的东西。

二分图：　　

　　二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。图一就是一个二分图。

匈牙利算法：

　　匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

Hall定理：

　　二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。（1≤k≤m)

匹配：

　　给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图一中红线为就是一组匹配。

未盖点：

　　设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。如图一中的a3、b1。

交错路：

　　设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。如图一中a2->b2->a1->b4。

可增广路：

　　两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。如图一中的b1->a2->b2->a1->b4->a3。

顶点的数目：

　　图中顶点的总数。

最大独立数：

　　从V个顶点中选出k个顶，使得这k个顶互不相邻。 那么最大的k就是这个图的最大独立数。

最小顶点覆盖数：

　　用最少的顶点数k来覆盖图的所有的边，k就是这个图的最小顶点覆盖数。

最大匹配数：

　　所有匹配中包含的边数最多的数目称为最大匹配数。

顶点的数目=最大独立数+最小顶点覆盖数（对于所有无向图都有效）

最大匹配数=最小顶点覆盖数（只对二分图有效）

 

　　这么多概念罗列出来了，下面放个实际中可能遇到的问题。其实就是算法竞赛中的一道题目，简化阐述下。

问题：

　　幼儿园有G个女孩、B个男孩。女孩之间都相互认识，男孩之间都相互认识，部分男女之间相互认识。要求从中选出一部分小孩，他们之间都要相互认识，求能从中选出的最多人数。

分析：

　　可以按男女画出二分图。因为要求选出的小孩都要相互认识，则可以在相互不认识的小孩之间连线，这样只要小孩之间没有线直接相连，那么他们就肯定就是相互认识的了。也就因此转化为了求这个二分图的最大独立数。

　　为了便于理解，首先我们来做个游戏。假设现在有5个男孩（b1,b2,b3,b4,b5）、五个女孩(g1,g2,g3,g4,g5)。b1不认识g1,g2;b2不认识g2,g3;b3不认识g2,g5;b4不认识g3;b5不认识g3,g4,g5。男孩女孩站两排，相互不认识的他们之间用一根线相连。得到的图如下：

　　因为相互不认识的小孩之间会有一根线，所以如果我们想得到相互都认识的小孩，那么最终留下的小孩他们的手里都不能握有线了，很简单如果他们手中还有线，那就说明留下的人还有他不认识的。这样，之前的问题也就转变为了如何去除最少的小孩，使留下的小孩手中没有线。再换一种说法，也就是怎么在这么多小孩中找出最少的人，他们握有所有的线。这下就转换为了寻找最小顶点覆盖数。

　　这样如果找到了最小顶点覆盖数，我们又知道顶点数（所有的小孩的数目），就可以求出最大独立数（现场留下的小孩）。

　　又因为对于二分图，最大匹配数=最小顶点覆盖数。这个问题进而也就变成了求解最大匹配数。而匈牙利算法正是用来求最大匹配数的一个很好的方法。

　　

　　下面我们就来看看匈牙利算法的具体流程。

　　上面的流程有些抽象，具体要怎么来找增广路呢，下面给出具体操作的流程图。

　　是不是感觉有些乱，让我们来一步一步的分析。为了简化步骤我们用下图来分析

第一个最外层的循环从x1开始：

　　按照流程图，第一次肯定有xi了，清空标记后，yi肯定也是没有标记的了。然后对yi进行标记，第一次M自然也是空的了，M中加入（x1,y1）得到新的M{(x1,y1)}，于是得到下图。

最外层循环到了x2：

　　好，接下来最大匹配数加1，循环继续。下面就该轮到x2了。首先清空Y的标记。

　　这时x2再找到y1时它已经没有标记了，这时再来标记它。但y1已经在M中了，它的对应顶点为x1。所以接下来x1要更新关联点。

　　由x1开始查找时，在Y中y1已经被标记了，只能找下一个顶点，于是便找到了y2。y2未被标记，标记它。x1的关联点更新为y2，x2的关联点更新为y1。因此得新的M为{(x2,y1),(x1,y2)}

 　　好，最大匹配数加1，循环继续。清空Y中标记。

最外层循环到了x3：

　　下面就轮到x3了。x3找到y1，y1未标记，标记之。

　　y1的关联是x2。又轮到x2找了。x2找到y1，但y1已被标记，于是便找到y2。y2未被标记，标记之。

　　y2的关联为x1，x1开始找。x1找到y1，y1已被标记，找到y2，y2已被标记。找到y3，y3未被标记，标记之。同时y3没有关联。更改x1的关联为y3。

　　原(x1,y2)的关联也因为x1的改变，变为了(x2,y2)

　　同时新增关联(x3,y1)更新M为{(x3,y1),(x2,y2),(x1,y3)}。最大匹配数加1。这时已经没有更多的X中顶点可选了。最大匹配数就这样被找出来了。

　　细心的人可能已经看出来了，有M'{(x2,y1),(x1,y2)}，最后找出的路径x3->y1->x2->y2->x1->y3是一条增广路径。

　　下面说一些增广路的特性，匈牙利法的正确性验证自己有兴趣可以证明下。

　　(1)有奇数条边。
　　(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
　　(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。
　　(4)整条路径上没有重复的点。
　　(5)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
　　(6)把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。

　　接下来就要用计算机来实现这个算法的过程了。相信有了上面的基础，已经不难完成了。

　　我是用c++编译的，程序很多地方肯定还有待优化，主要是为了展示算法流程。到这里至少应该对匈牙利算法有所了解了，算法讲解到此结束。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAXNUM 1000
//递归
//xi 二分图左部中的顶点
//ytotal 二分图右部顶点总数
//relation xy之间的关联关系
//link xy之间的匹配
//y的标记
bool recursion(const int xi, const int ytotal, const bool relation[][MAXNUM], int link[], bool* sign)
{
    for(int i = 0; i < ytotal; i++)
    {
        if(relation[xi][i] && !sign[i])//有关联并且没被标记
        {
            sign[i] = true;//标记
            if(link[i] == -1 || recursion(link[i], ytotal, relation, link, sign))//y没有有匹配则更新y的匹配；y有匹配则用它的匹配继续查找
            {
                link[i] = xi;//更新y的匹配 
                return true;
            }    
        }
    }
    return false;
}

//匈牙利算法
//xtotal 二分图的左部包含顶点总数
//ytotal 二分图的右部包含顶点总数
//xy之间的关联
int Hungary(const int xtotal, const int ytotal,const bool relation[][MAXNUM])
{
    int link[MAXNUM][2];//与y匹配的x
    memset(link, -1, sizeof(link));
    int cnt = 0;//最大匹配数
    for(int i = 0; i < xtotal; i++)
    {
        bool sign[MAXNUM] = {false};//清空标记
        if(recursion(i, ytotal, relation, link[i], sign))//寻找增广路径
        {
            cnt++;
        }
    }
    return cnt;
}

int main(int argc, char** argv)
{
    while(true)
    {
        int boytotal = 0;
        int girltotal = 0;
        bool relation[MAXNUM][MAXNUM] = {false};
        //获取男孩总数
        do 
        {
            fflush(stdin);
            printf("请输入男孩总数（不大于%d）：\n", MAXNUM);
            scanf("%d",&boytotal);
        }while(0 == boytotal || boytotal > MAXNUM);
        printf("男孩总数输入成功。\n");
        printf("------------------------\n");

        //获取女孩总数
        do 
        {
            fflush(stdin);
            printf("请输入女孩总数（不大于%d）：\n", MAXNUM);
            scanf("%d",&girltotal);
        }while(0 == girltotal || girltotal > MAXNUM);
        printf("女孩总数输入成功。\n");
        printf("------------------------\n");

        //获取相互不认识的男女
        do
        {
            int boyno = 0;
            int girlno = 0;
            fflush(stdin);
            printf("请输入相互不认识的异性小孩，如第一个男孩不认识第二个女孩则输入1,2：\n");
            scanf("%d,%d",&boyno, &girlno);
            if(boyno>0&&boyno<=boytotal&&girlno>0&&girlno<=girltotal)
            {
                relation[boyno-1][girlno-1] = true;
                char ret = '\0';
                fflush(stdin);
                printf("一对互不认识的男女输入成功，是否结束输入？(Y/N)\n");
                scanf("%c",&ret);
                if('Y' == ret || 'y' == ret)
                {
                    break;
                }
            }
        }while(true);
        printf("------------------------\n");

        
        printf("男孩个数：%d；女孩个数：%d；小孩总数：%d\n",boytotal,girltotal,boytotal+girltotal);
        //寻找最大匹配
        int tmp = Hungary(boytotal, girltotal, relation);
        printf("最大匹配数：%d\n", tmp);
        printf("最多可以留下人数：%d\n", boytotal+girltotal-tmp);
        printf("------------------------\n");

        char ret;
        fflush(stdin);
        printf("是否退出？(Y/N)\n");
        scanf("%c",&ret);
        if('Y' == ret || 'y' == ret)
        {
            break;
        }
        printf("------------------------\n");
    }
    
    return 1;
}