关于欧拉定理的证明以及扩展欧拉定理的证明及其应用

  • 前置芝士：

　　欧拉函数（φ(p)）:即指在[1,p-1][1,p−1]中与p互质的数的个数，特别的，φ(1)=1。

  • 单数值求欧拉函数：（时间复杂度O（√n））
  •  1 int euler(int n){ //返回euler(n)   
 2    int res=n,a=n;  
 3    for(int i=2;i*i<=a;i++)  
 4        if(a%i==0){  
 5             res=res/i*(i-1);  
 6             while(a%i==0) a/=i;  
 7         }  
 8     }  
 9     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
10     return res;  
11 }
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  • 线性筛欧拉函数：（时间复杂度O（n））

  •  

     1 void getphi(){  
 2     phi[1]=1;  
 3     for(i=2;i<=N;i++){//相当于分解质因式的逆过程 
 4         if(!mark[i]){  
 5             prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。  
 6             phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1  
 7         }  
 8         for(j=1;j<=tot;j++){  
 9             if(i*prime[j]>N)  break;  
10             mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数  
11               if(i%prime[j]==0){//接着我们会看prime[j]是否是i的约数   
12                  phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
13                  break;
14             }
15               else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性  
16        }  
17    }  
18 }
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  • Eg：通式：

    欧拉定理

  • 引入概念

    基本概念——完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由0到n-1，n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。

    就是说刚好取遍所有mod p意义下余数的任意一个数的集合。

 

　　

引入引理

 

 

 

下面是对于欧拉定理的证明

 

左右同时约分可得：

 

 

  扩展欧拉定理及其证明

 

 证明： 附链接[(https://blog.csdn.net/can919/article/details/82318115)]

 

 对于质数的幂在mod（m）的意义下：

又

 

 

 所以

 

 综述：

得证。

 

  • 下面是 扩展欧拉定理（P5091）模板代码（读入时根据扩展欧拉定理优化取模）

  •  1 #pragma GCC optimize(2)
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 #include<cctype>
 7 #include<ctime>
 8 #include<cstdlib>
 9 #include<map>
10 #include<algorithm>
11 
12 using namespace std;
13 
14 #define ll long long 
15 
16 ll a,m,b;
17 
18 ll power(ll a,ll b,ll m);
19 inline ll read();
20 inline ll read_(ll m);
21 inline void write(ll x);
22 ll euler(ll n);
23 
24 int main(){
25     a=read();m=read();
26     b=read_(euler(m));
27     write(power(a,b,m));
28 }
29 
30 ll power(ll a,ll b,ll m){
31     ll ret=1;
32     while(b){
33         if(b&1) ret=ret*a%m;
34         a=a*a%m;
35         b>>=1;
36     }
37     return ret;
38 }
39 
40 inline ll read(){
41     ll a=1,b=0;char t;
42     while(t<'0'||t>'9'){
43         if(t=='-') a=-1;
44         t=getchar();
45     }
46     while(t>='0'&&t<='9') b=b*10-'0'+t,t=getchar();
47     return a*b;
48 }
49 
50 inline ll read_(ll m){
51     bool flag=0;
52     ll y=0;char t=getchar();
53     while(t<'0'||t>'9') t=getchar();
54     while(t>='0'&&t<='9'){
55         y=y*10-'0'+t;
56         if(y>=m) flag=1;
57         y%=m;
58         t=getchar();
59     }
60     if(flag) return y+m;
61     return y;
62 }
63 
64 inline void write(ll x){
65     ll fig[33],top=0;
66     if(!x) putchar('0');
67     while(x) fig[++top]=x%10,x/=10;
68     while(top) putchar(fig[top--]+'0');
69 }
70 
71 ll euler(ll n){
72     ll res=n,a=n;
73     for(int i=2;i*i<=a;i++)
74         if(!(a%i)){
75         res=res/i*(i-1);
76         while(!(a%i)) a/=i;
77     }
78     if(a>1) res=res/a*(a-1);
79     return res;
80 }
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posted @ 2019-07-26 11:32  admire◢◤  阅读(628)  评论(0)  编辑  收藏  举报