倍增

RMQ问题

我们用 $dp[i][j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 区间的最大值,预处理的时候可以分两个部分进行查询最大值。

查询区间 $[l,r]$ 的最大值时我们只用查询 $(l,l+2^s-1)$ 与 $(r-2^s+1,r)$ ，其中 $s=lo{g}_2(r-l+1)$ 就可以了，我们保证(l,r)的区间一定能覆盖到且不会超出。
预处理时间复杂度 $O(nlogn)$ ,查询时间复杂度 $O(1)$ .

int a[N],dp[N],n;
void prep(){//预处理
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        dp[i][0]=a[i];
    }
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int query(int l,int r){//查询
    int k=log2(r-l+1);
    return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}

LCA

最近公共祖先简称LCA(Lowest Common Ancestor).两个节点的最近公共祖先,就是这两个点的公共祖先里面,离根最远的那个.
本题考虑倍增,用 $fa[x][i]$ 表示节点 $x$ 的第 $2^i$ 个祖先,先使两个节点到达同一深度,然后再同步从上往下跳.

int vis[N],dis[N],f[N][20];
vector<int>g[N];
void dfs(int x,int d){
    vis[x]=1;
    dis[x]=d;
    for(int i=1;(1<<i)<=k;i++){
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    }
    for(int v:g[x]){
        if(v==fa[x][0]) continue;
        fa[v][0]=x;
        dfs(v,d+1);
    }
}
int lca(int x,int y){
    if(dis[y]>dis[x]) swap(x,y);
    int k=dis[x]-dis[y];
    for(int i=1;(1<<i)<=k;i++){//对于xy距离k进行二进制划分
        if(k&(1<<i)) x=fa[x][i];
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i=19;i>=0;i--){//从上往下跳，最后一定跳到LCA的下一层
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    }
    return fa[x][0];
}