数论学习笔记

逻辑

1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念

若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。
$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$。
$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，$p\nRightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$。
$p$ 是 $q$ 的充要条件，$p\iff q$。

2. 全称量词和存在量词

全称量词：$\mathrm{\forall }$。
存在量词：$\mathrm{\exists }$。

集合

1. 集合与元素

集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 $\in$ 或 $\notin$ 表示。
集合的表示法：列举法、描述法、图示法。
自然数集：$N$，正整数集：$N^{\ast }$ 或 $N_{+}$，整数集：$Z$，有理数集：$Q$，实数集：$R$。

2. 集合间的基本关系

子集：集合 $A$ 中所有元素都在集合 $B$ 中，$A\subseteq B$。
真子集：集合 $A$ 是 $B$ 的子集，且集合 $B$ 中至少有一个元素不在集合 $A$ 中，$A⊊B$。
集合相等：集合 $A$，$B$ 中元素相同，$A=B$。

3. 集合的基本运算

集合的并集：$A\cup B=x|x\in A\mathrm{或}x\in B$。
集合的交集：$A\cap B=x|x\in A\mathrm{且}x\in B$。
集合的补集：${\complement }_{U}A=x|x\in U\mathrm{且}x\notin A$。
结合律：对于任意三个集合 $A$，$B$ 和 $C$，结合律指的是 $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ 和 $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$。
交换律：对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，交换律指的是 $A\cup B=B\cup A$ 和 $A\cap B=B\cap A$。
对称差：$A\mathrm{\Delta }B=(A-B)\cup (B-A)$

计数（映射）

1. 映射的概念

两集合 $A$，$B$：$A$，$B$ 是两个非空集合。
对应关系 $f$：$A\to B$，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个元素 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的元素 $f(x)$ 与之对应。
名称：称 $f$：$A\to B$ 为从集合 $A$ 到 $B$ 的一个映射。

2. 映射的有关概念

若 $f(A)=B$，则映射 $f$ 称为满射；若对于 $A$ 中任意两个不同的元素 $x_1\ne x_2$，均有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，则映射 $f$ 称为单射；如果映射 $f$ 既是单射又是满射，则映射 $f$ 称为一一映射。此时存在 $f^{-1}$ ：$B\to A$，使得 $\mathrm{\forall }x\in A$，均有 $f^{-1}(f(x))=x$，$\mathrm{\forall }y\in B$，均有 $f(f^{-1}(y))=y$。

3. 映射的应用

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_n^k=C_n^{n-k}$
$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^n$
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots +C_n^{2k}=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots +C_n^{2k+2}$
$C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$
$C_n^k=\frac{n}{k}{C}_{n-1}^{k-1}$
$C_n^k=\frac{n-k+1}{k}{C}_n^{k-1}$

容斥

$|{\cup }_{i=1}^n{A}_i|=\sum _i|A_i|-\sum _{i,j}|A_i\cap A_j|+\sum _{i,j,k}|A_i\cap A_j\cap A_k|\cdots +(-1{)}^{n-1}\times |{\cap }_{i=1}^n{A}_i|=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\times \sum _{1\le x_1\le x_2\cdots x_k\le n}|{\cap }_{i=1}^k{A}_{x_i}|$

数列

等差数列：$a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)$，$s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
等比数列：$a_n=a_1{q}^{n-1}(q\ne 0)$，$s_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1)$，$s_n=n{a}_1(q=1)$

裂项

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n(n+1)$
$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2$
$\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^i{b}^{n-i}=(a+b{)}^n$

Abel恒等式

$\sum _{a_i}^{b_i}=S_n{b}_n+\sum _i^{n-1}{S}_i(b_{i+1}-b_i)$

数学归纳法

1. 第一归纳法

• 先证 $n=1$ 时，成立
• 若 $n=k$ 时，成立
• 再证 $n=k+1$ 时，成立

2. 第二归纳法

• 先证 $n=1$ 时，成立
• 若 $n=1,n=2,\cdots n=k$ 时，成立
• 再证 $n=k+1$ 时成立

3. 第三归纳法（证明 $n$ 元均值不等式）

• 先证 $n=2$ 时，成立
• 若 $n=2^k$ 时，成立
• 再证 $n=2^m$ 时，成立
• 若 $n=m$ 时，成立
• 最后证 $n=m-1$ 时，成立

博弈论

• 先求第一制胜点
• 递推：$(1)$ 能走到制胜点的点都是必败点。
  $(2)$ 无论怎么走都是必败点，才是必胜点。
• 根据递推的结果猜测策略
• 用数学归纳法证明此策略

汉诺塔

令 $n$ 为当前汉诺塔的个数，且均在第一根柱子上。
则先将上面 $n-1$ 个，按顺序移动到第二根柱子上。
再将第 $n$ 个汉诺塔移动到第三根柱子上。
最后将 $n-1$ 个汉诺塔，按顺序移动到第三根柱子上。
于是递推公式即为：$a_n=2a_{n-1}+1$。
转变为通项公式即为：$a_n=2^n-1$。

砝码问题

只有一边放置砝码，有 $n$ 个砝码，则最多能够称出 $2^n-1$ 种重量。
两边都可以放置砝码，有 $n$ 个砝码，则最多能够称出 $\frac{3^n-1}{2}$ 种重量。

错排

$n$ 元错排公式：$D_n=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{C}_n^i(n-i)!=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{n!}{i!}=n!\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{1}{i!}\approx \frac{n!}{e}$
递推式：$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

卡特兰数

递推式：$H_n=\sum _{i=0}^n{H}_i{H}_{n-i}$
通项公式：$H_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

递推公式向通项公式的转化

1. 待定系数

递推式两边同时 $+k$，再利用第一项和等比数列公式求出通项公式。

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}=2a_n+1\end{array}$$

$$a_{n+1}+k=2(a_n+k)$$

$$k=1$$

最终通项公式为：$a_n=2^n-1$

2. 两边同除以 $p^{n+1}$

递推式两边同时除以 $p^{n+1}$，再利用第一项和等差数列公式求出通项公式。

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}=2a_n+1\end{array}$$

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}$$

最终通项公式为：$a_n=2^n-1$

3. 取倒数

递推式两边同时取倒数，再利用第一项和等比数列公式或等差数列公式求出通项公式。

4. fib

当有 $n+1$ 项与 $n$ 和 $n-1$ 有关系时，将第 $k$ 项转换为 $x^k$，再利用前两项求得系数。
斐波那契通项公式：

$$\frac{\sqrt{5}}{5}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n)$$

Stirling 数

第一斯特林数：$S(p,i)=S(p-1,i-1)+iS(p-1,i)$ $(1\le i\le p-1)$
第二斯特林数：$S(p,i)=S(p-1,i-1)+(p-1)S(p-1,i)$

Bell 数

$B_p=\sum _{i=0}^{p}S(p,i)$
$B_p=\sum _{i=0}^{p-1}{C}_{p-1}^i{B}_{p-i-1}$

整除

1. 定义

$a|b:\mathrm{\exists }n\in Z$ 使得 $b=an$。

2. 性质

传递性：$a|b,b|c\Rightarrow a|c$
可加减性：$n|a,n|b\Rightarrow n|a\pm b$
可乘性：$a|b,c|d\Rightarrow ac|bd$ $(a|b\Rightarrow a|bd)$

最大公因与最小公倍

1. 定义

$gcd(a,b):max(m\mid m|a\mathrm{且}m|b)$
$\mathrm{lcm}(a,b):min(n\mid a|n\mathrm{且}b|n,n>0)$

2. 带余除法

$a÷b=q\cdots r$
确定了 $a$ 和 $b$，那么 $q$ 和 $r$ 就确定了。

3. 辗转相除

$(1)$ $(a,b)=(a-b,b)$
$\mathrm{\forall }x\in \{a,b\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{因}\mathrm{数}\}$
$x|a,x|b\Rightarrow x|a-b\Rightarrow x\in \{a-b\mathrm{与}b\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{因}\mathrm{数}\}$
$\therefore \{a,b\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{因}\mathrm{数}\}=\{a-b\mathrm{与}b\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{因}\mathrm{数}\}$
$(2)$ 若 $a÷b=q\cdots r$，则 $(a,b)=(b,r)$
证明：通过 $(1)$ 多做几次就好了。
$(3)$ 辗转相除法

$$\mathrm{\forall }a>b,a_1=a,b_1=b,a_1÷b_1=q_1\cdots r_1$$

$$(a_1,b_1)=(b_1,r_1)$$

令 $$a_2=b_1,b_2=r,a_2÷b_2=q_2\cdots r_2$$ $$(a_2,b_2)=(b_2,r_2)$$

$$⋮$$

直到 $$r_n=0\mathrm{时}，(a_n,b_n)=b_n$$

4. 裴蜀定理

$ax+by=(a,b)$

5. $gcd$ 的性质

$(a,b,c)=((a,b),c)$
$(a,b)=(a,b,ax)$
$(a,b,c)=((a,b),(a,c))$

6. $gcd$ 的重要式子

已知 $a,b$ 为正整数，$(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$
已知 $a,b$ 为正整数，$(2^{2^a}+1,2^{2^b}+1)=1$

算术基本定理

1. 质数的定义

$p\ge 2,n|p\Rightarrow n=1\mathrm{或}n=p$

2. 分解质因数

一个大于 $1$ 的正整数 $n$ 可以分解为若干个质数的乘积，若不考虑质因子之间的顺序，这种分解方式是唯一的。

3. $v_p(n)$

$v_p(n)$ 表示 $n$ 的标准分解式中所含质因子 $p$ 的指数。
$v_p(n_1{n}_2)=v_p(n_1)+v_p(n_2)$
$v_p(gcd(n_1,n_2))=min(v_p(n_1),v_p(n_2))$
$v_p(\mathrm{lcm}(n_1,n_2))=max(v_p(n_1),v_p(n_2))$

$$v_p(n_1,n_2)=\{\begin{array}{l}min(v_p(n_1),v_p(n_2))(v_p(n_1)\ne v_p(n_2))\\ \ge v_p(n_1)=v_p(n_2)(v_p(n_1)=v_p(n_2))\end{array}$$

4. 因数个数与因数和

设正整数 $n$ 的标准分解式为： $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$
因数个数公式：$d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)$
因数和公式：$\sigma (n)=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}$
因数积：$n^{\frac{d(n)}{2}}$

5. $gcd$ 的性质

$(ma,mb)=m(a,b)$
$(a,uv)=(a,(a,u)v)$
$(u,v)=1\Rightarrow (a,uv)=(a,u)(a,v)$

6. $mn$ 与 $gcd$ 和 $\mathrm{lcm}$ 的关系

$(m,n)\times [m,n]=mn$

同余

1. 定义

$n|a-b\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

2. 性质

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$，则 $a$ 与 $b$ 对 $n$ 作带余除法所得的余数相同。
自反性：$a\equiv b(\mathrm{mod}n)\Rightarrow b\equiv a(\mathrm{mod}n)$
传递性：$a\equiv b(\mathrm{mod}n),b\equiv c(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a\equiv c(\mathrm{mod}n)$
可加减性：$a_1\equiv a_1(\mathrm{mod}n),b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a_1\pm b_1\equiv a_2\pm b_2(\mathrm{mod}n)$
可乘性：$a_1\equiv a_1(\mathrm{mod}n),b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a_1\times b_1\equiv a_2\times b_2(\mathrm{mod}n)$
可除性：$ka\equiv kb(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$
互质可除性：$ka\equiv kb(\mathrm{mod}n),(k,n)=1\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

3. 特殊数的余数特征

若 $m|{10}^k$，$n=a\cdot {10}^k+b$（其中 $b$ 为 $n$ 的末 $k$ 位数，则 $n\equiv b(\mathrm{mod}m)$
若 $m|{10}^k-1$，$n=a_s\cdot {10}^{sk}+a_{s-1}\cdot {10}^{(s-1)k}+\cdots +a_1\cdot {10}^k+a_0$，其中 $a_s,a_{s-1},\cdots ,a_0$ 均小于 ${10}^k$。则 $n\equiv a_s+a_{s-1}+\cdots +a_0(\mathrm{mod}m)$
若 $m|{10}^k+1$，$n=a_s\cdot {10}^{sk}+a_{s-1}\cdot {10}^{(s-1)k}+\cdots +a_1\cdot {10}^k+a_0$，其中 $a_s,a_{s-1},\cdots ,a_0$ 均小于 ${10}^k$。则 $n\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots +(-1{)}^s\cdot a_s(\mathrm{mod}m)$

经典余数定理

1. 剩余类

$Z$ 按$modn$ 分为 $0(\mathrm{mod}n),1(\mathrm{mod}n),\cdots n-1(\mathrm{mod}n)$
$Z_n=\{\bar{0},\bar{1},\cdots ,\overline{n-1}\}$

2. 完全剩余系（简称完系）

$x=\{a_i\in \bar{i}\mid 0\le i\le n-1\}$

3. 欧拉 $\phi$ 函数

$\phi (n)$:$0\sim n-1$ 与 $n$ 互质的个数
$m,n$ 互质 $\Rightarrow \phi (mn)=\phi (m)\cdot \phi (n)$

4. 欧拉 $\phi$ 函数的计算

$\phi (n)=n\cdot \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$

5. 既约剩余系（简称完系）

既约剩余系中的元素是剩余类中与 $n$ 互质的元素。

6. 同余逆

已知 $(a,n)=1$，则存在整数 $b$ 使得 $ab\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，且这样的 $b$ 在模 $n$ 意义下是唯一的。则 $b$ 称为 $a$ 模 $n$ 的同余逆，通常记作 $a^{-1}(\mathrm{mod}n)$

7. 性质

若 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 为模 $n$ 的完系，则 $\{a_1+k,a_2+k,\cdots ,a_n+k\}$ 也为模 $n$ 的完系
若 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 为模 $n$ 的完系，且 $(m,n)=1$，则 $\{m{a}_1,m{a}_2,\cdots ,m{a}_n\}$ 也为模 $n$ 的完系
若 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_{\phi (n)}\}$ 为模 $n$ 的缩系，且 $(m,n)=1$，则 $\{m{a}_1,m{a}_2,\cdots ,m{a}_{\phi (n)}\}$ 也为模 $n$ 的缩系
若 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_{\phi (n)}\}$ 为模 $n$ 的缩系，则 $\{a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots ,a_{\phi (n)}^{-1}\}$ 也为模 $n$ 的缩系

8. 中国剩余定理

已知 $n_1,n_2\dots n_k$ 两两互质，同余方程组 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{n}_1)\\ x\equiv a_2(mod{n}_2)\\ \cdots \\ x\equiv a_k(mod{n}_k)\end{array}$ 在模 $n=n_1{n}_2\dots n_k$ 的意义下有唯一解。
具体的，设 $M_i={\displaystyle \frac{n}{n_i}}$，$N_i^{-1}$ 表示 $M_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元。该方程的解为 $\sum _{i=1}^k{a}_i{M}_i{M}_i^{-1}$。

9. Wilson

如果 $p$ 是一个素数，则 $(p-1)!\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$

10. 费马小定理

$p$ 为质数，$a$ 不是 $p$ 的倍数，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

11. 欧拉定理

$a$ 和 $n$ 为正整数，且 $(a,n)=1$，则 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

12. 同余的重要式子

若 $a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n),a^k\equiv 1(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a^{(m,k)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

13. 阶

若 $(a,n)=1$，且存在最小的正整数 $k$，使得 $a^k\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，且 $a^n\equiv 1(\mathrm{mod}n)\iff k|n$，此时的 $k$ 叫做 $a$ 模 $n$ 的阶。

群论

1. 群的概念

群：集合 $G$，和运算 $\ast$，构成了一个群：$(G,\ast )$。
群满足下面的性质：
运算封闭性： $\mathrm{\forall }x,y\in G,x\ast y\in G$
单位元： $\mathrm{\exists }e\in G,\mathrm{\forall }g\in G,e\ast g=g\ast e=g$
逆元： $\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\exists }{g}^{\prime }\in G,g\ast g^{\prime }=g^{\prime }\ast g=e$，记作 $g^{\prime }=g^{-1}$
结合律： $\mathrm{\forall }{g}_1,g_2,g_3\in G,(g_1\ast g_2)\ast g_3=g_1\ast (g_2\ast g_3)$ 。
可以证明单位元和逆元唯一。
逆元的性质： $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$
定义： $a^b=\underset{b}{\underbrace{a\ast a\ast a\cdots \ast a}}$
$|G|$ 有限为有限群(如 $({\mathbb{Z}}_{\mathbb{n}}\mathbb{,}\mathbb{+}),(\{a_1,\cdots ,a_{\phi (n)}\},\times )$)， $|G|$ 无限为无限群(如 $(\mathbb{Z},+)$)。
若 $\mathrm{\forall }a,b\in G,a\ast b=b\ast a$ 则称群 $(G,\ast )$ 为交换群（阿贝尔群）(如 $(\mathbb{Z},+)$)，否则称为非交换群(如 $({\mathbb{M}}_{\mathbb{n}},\times ),(\mathbb{S},\circ )$)。
若 $H\subseteq G,(H,\ast )$ 也是群，则称 $(H,\ast )$ 为 $(G,\ast )$ 的子群（如 $(\mathbb{Z},+)$ 的子群为 $(n\mathbb{Z},+),n\in \mathbb{Z}$ ）。
循环群：若 $(G,\ast ),G=\{a^m|m\in \mathbb{Z}\}$ 则称 $(G,\ast )$ 为循环群。记作 $(G,\ast )=<a>$，$a$ 为群 $(G,\ast )$ 的生成元，循环群一定是交换群（如 $(\mathbb{Z},+)=<1>$ ）。
同构： 存在双射 $f:(G_1,{\ast }_1)\to (G_2,{\ast }_2)$ ,使得 $\mathrm{\forall }{g}_1,g_2\in G_1,f(g_1){\ast }_{2}f(g_2)=f(g_1{\ast }_1{g}_2)$，则称 $(G_1,{\ast }_1)$ 和 $(G_2,{\ast }_2)$ 同构，记作 $(G_1,{\ast }_1)\cong (G_2,{\ast }_2)$ 。
若两个循环群元素个数相同，则两个循环群同构，所以任意一个 $n$ 个元素的循环群同构 $({\mathbb{Z}}_{\mathbb{n}},+)$,任意一个无限循环群同构 $(\mathbb{Z},+)$。
任意一个 $n$ 个元素的循环群有 $\phi (n)$ 个生成元。
任意一个非交换群都同构 $(\mathbb{S},\circ )$
若 $(H_1,\ast ),(H_2,\ast )$ 均为 $(G,\ast )$ 的子群，则 $(H_1\cap H_2,\ast )$ 为 $(G,\ast )$ 的子群
拉格朗日定理： 若 $(H,\ast )$ 为 $(G,\ast )$ 的子群，则 $|H|||G|$ 。

2. 阶

阶：最小的 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得 $g^k=e$，则称 $k$ 为 $g$ 在群 $(G,\ast )$ 的阶，记作 $o(g)$。
在 $(\mathbb{Z},+)$ 中，对于 $g\ne 0,o(g)=+\mathrm{\infty }$
在 $(G,\ast )$ 中，$o(e)=1$
在交换群 $(G,\ast )$ 中，若 $o(g)=n,o(g^k)={\displaystyle \frac{n}{gcd(n,k)}}$
在交换群 $(G,\ast )$ 中，$max\{o(g)|g\in G\}=\mathrm{lcm}\{o(g)|g\in G\}$
在交换群 $(G,\ast )$ 中，$g_1,g_2\in G$,若 $gcd(o(g_1),o(g_2))=1,o(g_1\ast g_2)=o(g_1)o(g_2)$

3. 置换群

定义置换 $S_n$ 为双射 $f:\{1\sim n\}\to \{1\sim n\}$ 。记作 $\left(\begin{array}{c}1,2,\cdots n\\ a_1,a_2\cdots a_n\end{array}\right)$ 表示 $f(i)=a_i$ 。
轮换：$(i_1,i_2,\cdots i_n)$ 为 $f(i_j)=\{\begin{array}{l}{i}_{j+1}(j\ne n)\\ i_1(j=n)\end{array}$ 。
$\mathrm{\forall }\alpha \in S_n$ $\alpha$ 可以分解成若干个不相交轮换的乘积。
不相交轮换的乘积具有交换律。
若将 $\alpha \in S$ 分解成若干个不相交轮换的乘积，即 $\alpha =S_1\circ S_2\cdots S_k$ ，则 $o(\alpha )=\mathrm{lcm}(|S_i|(1\le i\le k))$