线段树基础详解

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进阶版

基本概念：

存储结构是怎样的？

线段树是一种二叉树，当然可以像一般的树那样写成结构体，指针什么的。

但是它的优点是，它也可以用数组来实现树形结构，可以大大简化代码。

数组形式适合在编程竞赛中使用，在已经知道线段树的最大规模的情况下，直接开足够空间的数组，然后在上面建立线段树。
简单的记法： 足够的空间 = 数组大小n的四倍。 
实际上足够的空间 =  （n向上扩充到最近的2的某个次方）的两倍。
举例子：假设数组长度为5，就需要5先扩充成8，8*2=16.线段树需要16个元素。如果数组元素为8，那么也需要16个元素。
所以线段树需要的空间是n的两倍到四倍之间的某个数，一般就开4*n的空间就好，如果空间不够，可以自己算好最大值来省点空间。

怎么用数组来表示一颗二叉树呢？假设某个节点的编号为v,那么它的左子节点编号为2*v，右子节点编号为2*v+1。

然后规定根节点为1.这样一颗二叉树就构造完成了。通常2*v在代码中写成 v<<1 。 2*v+1写成 v<<1|1 。

以下以维护数列区间和的线段树为例，演示最基本的线段树代码。

(0)定义：

1. #define maxn 100007  //元素总个数  
2. #define ls l,m,rt<<1  
3. #define rs m+1,r,rt<<1|1  
4. int Sum[maxn<<2],Add[maxn<<2];//Sum求和，Add为懒惰标记   
5. int A[maxn],n;//存原数组数据下标[1,n]   

(1)   建树：

(2) //PushUp函数更新节点信息 ，这里是求和  

(3) void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}  

(4) //Build函数建树   

(5) void Build(int l,int r,int rt){ //l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  

(6)     if(l==r) {//若到达叶节点   

(7)         Sum[rt]=A[l];//储存数组值   

(8)         return;  

(9)     }  

(10)          int m=(l+r)>>1;  

(11)          //左右递归   

(12)          Build(l,m,rt<<1);  

(13)          Build(m+1,r,rt<<1|1);  

(14)          //更新信息   

(15)          PushUp(rt);  

(16)      }  

(2)点修改：

假设A[L]+=C:

1.  void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  

2.      if(l==r){//到叶节点，修改   

3.          Sum[rt]+=C;  

4.          return;  

5.      }  

6.      int m=(l+r)>>1;  

7.      //根据条件判断往左子树调用还是往右   

8.      if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);  

9.      else       Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);  

10.     PushUp(rt);//子节点更新了，所以本节点也需要更新信息   

11. }   

 

 

(3)区间修改：

1. void Update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号   
2.     if(L <= l && r <= R){//如果本区间完全在操作区间[L,R]以内   
3.         Sum[rt]+=C*(r-l+1);//更新数字和，向上保持正确  
4.         Add[rt]+=C;//增加Add标记，表示本区间的Sum正确，子区间的Sum仍需要根据Add的值来调整  
5.         return ;   
6.     }  
7.     int m=(l+r)>>1;  
8.     PushDown(rt,m-l+1,r-m);//下推标记  
9.     //这里判断左右子树跟[L,R]有无交集，有交集才递归   
10.     if(L <= m) Update(L,R,C,l,m,rt<<1);  
11.     if(R >  m) Update(L,R,C,m+1,r,rt<<1|1);   
12.     PushUp(rt);//更新本节点信息   
13. }   

(4)区间查询：

询问A[L,R]的和

首先是下推标记的函数：

1.  void PushDown(int rt,int ln,int rn){  

2.      //ln,rn为左子树，右子树的数字数量。   

3.      if(Add[rt]){  

4.          //下推标记   

5.          Add[rt<<1]+=Add[rt];  

6.          Add[rt<<1|1]+=Add[rt];  

7.          //修改子节点的Sum使之与对应的Add相对应   

8.          Sum[rt<<1]+=Add[rt]*ln;  

9.          Sum[rt<<1|1]+=Add[rt]*rn;  

10.         //清除本节点标记   

11.         Add[rt]=0;  

12.     }  

13. }  

然后是区间查询的函数：

1. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  
2.     if(L <= l && r <= R){  
3.         //在区间内，直接返回   
4.         return Sum[rt];  
5.     }  
6.     int m=(l+r)>>1;  
7.     //下推标记，否则Sum可能不正确  
8.     PushDown(rt,m-l+1,r-m);   
9.       
10.     //累计答案  
11.     int ANS=0;  
12.     if(L <= m) ANS+=Query(L,R,l,m,rt<<1);  
13.     if(R >  m) ANS+=Query(L,R,m+1,r,rt<<1|1);  
14.     return ANS;  
15. }   

(5)函数调用:

1. //建树   
2. Build(1,n,1);   
3. //点修改  
4. Update(L,C,1,n,1);  
5. //区间修改   
6. Update(L,R,C,1,n,1);  
7. //区间查询   
8. int ANS=Query(L,R,1,n,1);