51nod 1135 原根

1135 原根

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题

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设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

给出1个质数P，找出P最小的原根。

Input

输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)

Output

输出P最小的原根。

Input示例

3

Output示例

2

1.原根定义：设m>1,gcd(a,m)=1,使得成立的最小的r，称为a对模m的阶。 

2.定理：如果模m有原根，那么他一共有个原根。这里的函数表示[1,m)中与m互质的个数

3.定理：如果p为素数，那么素数p一定存在原根，并且模p的原根的个数为个。

4.定理：假设m是正整数，a是整数，如果a模m的阶等于，则称a为模m的一个原根。

5.模m有原根的充要条件：m=2,4,P^a,2*P^a……. 
求模素数P的原根的方法：对P-1素因子分解，即P-1=(P1^a1)(P2^a2)…..(Pk^ak)。，若恒有成立，那么g就是P的原根(对于合数而言,只需要把p-1换成即可)

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <bitset>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
typedef long long  LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi= acos(-1.0);
const double esp=1e-7;
const int Maxn=1e6+10;
int prime[Maxn];//存储素数
int sprime[Maxn];//存储P-1的素因子
bitset<Maxn>pri;//结果只有0和1，判断是否为素数
int k;//记录Maxn以内的素数个数
int cnt;//记录素因子的个数
void is_prime()
{
    pri.set();//将所有的二进制数都标为1
    for(int i=2; i<Maxn; i++) {
        if(pri[i]) {
            prime[k++]=i;
            for(int j=i+i; j<Maxn; j+=i)
                pri[j]=0;
        }
    }
}
void Divide(int n)//将n分解为素因子
{
    cnt=0;
    int t=(int)sqrt(1.0*n);
    for(int i=0; prime[i]<=t; i++) {
        if(n%prime[i]==0) {
            sprime[cnt++]=prime[i];
            while(n%prime[i]==0)//因为有可能有多个peime[i]
                n/=prime[i];
        }
    }
    if(n>1)
        sprime[cnt++]=n;//可能只有自己一个素因子
}
LL modexp(LL a,LL b,int mod)//快速幂取余
{
    LL res=1;
    while(b>0) {
        a=a%mod;
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        b=b>>1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int p;
    is_prime();
    while(~scanf("%d",&p)) {
        Divide(p-1);
        for(int g=2; g<p; g++) {
            int flag=1;
            for(int i=0; i<cnt; i++) {
                int t=(p-1)/sprime[i];
                if(modexp(g,t,p)==1) {
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag) {
                int root=g;
                printf("%d\n",root);
                break;//去掉break的话是求所有的原根，加上break是求最小的原根、
            }
        }
    }
    return 0;
}