中国剩余定理学习笔记

前置技能

​ 了解同余方程并掌握扩展欧几里得算法。

具体实现

​ 中国剩余定理大概就是解决很多个\(\displaystyle x≡a_i(\text{mod } b_i)\)的方程的最小整数解问题，我们先来考虑\(b\)都互质的情况，考虑构造答案我们发现如果令\(lcm = b_1 × b_2 × … ×b_n\)可以得知 \(\displaystyle\frac{lcm}{b_i}\)对于所有其他的\(b\)取模都是\(0\)，那么只考虑模当前项为\(1\)的时候的答案，即求\(ans_i × \displaystyle\frac{lcm}{b_i} ≡ 1(\text{mod }b_i)\)，设对于第\(i\)项\(\text{exgcd}\)求出的答案为\(ans_i\) 则最终答案为 \(\displaystyle\sum_{i = 1}^na_i\times ans_i\times\frac{lcm}{b_i}(\text{mod lcm})\)。

​ 但是朴素的CRT只能解决\(b\)都互质的问题，如果不互质的话那它就无能为力了，所以我们现在来考虑\(b\)不互质的情况，考虑合并两个方程：

\[x\text{ mod } b_1=a_1,x\text{ mod } b_2=a_2 \]

​ 我们把这个东西写成不定方程的形式，那么：

\[x=b_1x_1+a_1=b_2x_2+a_2\\ a_2-a_1=b_1x_1-b_2x_2\\ a_2-a_1=b_1x_1+b_2(-x_2) \]

​ 对于这个式子我们可以\(\text{exgcd}\)解出\(x_1\)的值，那么合并之后的方程就是：

\[x≡b_1x_1+a_1(\text{mod lcm}(b_1,b_2)) \]

例题

​ 「NOI2018」屠龙勇士，题意是你有一些剑，你需要按顺序杀一些龙，杀了一条龙之后你的剑会消失，同时获得一把新的剑，你每次会选择攻击力不高于当前龙生命值攻击力最大的剑攻击龙\(x\)次，第\(i\)条龙的生命值是在模\(p_i\)意义下的，求最小攻击次数\(x\)。

​ 因为杀龙的过程是个固定的，我们可以用一个Multiset处理出杀每条龙的剑，处理出来之后我们发现就是要求很多个形如\(kx≡a_i(\text{mod } p_i)\)的方程，那么直接用中国剩余定理合并就好了，但是这个是要求\(a_i\le p_i\)的，我们观察数据表格可以发现所有不满足\(a_i\le p_i\)的方程都满足\(p_i=1\)，那么我们大力特判掉就ok了，代码戳我。

总结

​ 其实这个东西遇到合并方程的时候就可以直接上了，还有一个比较有用的东西就是在MTT的时候我们可以把模几个不同的NTT素数的结果用中国剩余定理合并，这样就提高了FFT的精度，也可以做任意模数NTT了。