为什么有负频率，什么是相位谱 —— 关于傅立叶变换的随笔

今天和人谈起了傅立叶变换，被问到为什么有负频率，加上之前也被问到过相位谱是个什么东西，为什么傅立叶变换的结果是复数，等等问题。于是想把相关的概念写下来，供大家参考。还是老样子，这里的叙述只为说明概念，并不严谨。

以 \( T \) 为周期的函数 \( c(t) \) 可以由 \( e^{ik\omega t} (k \in \mathbb{Z},  \omega=\frac{2\pi}{T}) \) 函数族展开，即

$$ c(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\omega t} $$

而

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)e^{-ik\omega t}dt $$

关于正、负频率系数之间的关系

因为 \(e^{i t} = cos(t) + i sin(t)\) ，我们把 \( c_k \) 的计算公式展开为

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(-k\omega t) + i sin(-k\omega t)] dt = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(k\omega t) - i sin(k\omega t)] dt$$

同样可以得到

$$ c_{-k} = \frac{1}{T}\int_0^Tc(t)[cos(k\omega t) + i sin(k\omega t)] dt $$

对比可知\( c_k \)和\( c_{-k} \)其实是一对共轭复数，我们记 \( c_k = a + i b\) ，则 \( c_{-k} = a - i b \)。

考察 \( c(t) \) 展开式中的求和

$$ c(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\omega t} = c_0 + \sum_{k = 1}^{+\infty}(c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t})$$

而 

$$ c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t} = (a + i b)(cos(k\omega t) + i sin(k\omega t)) + (a - i b)(cos(-k\omega t) + i sin(-k\omega t))$$

记 \( \theta = k\omega t\)，则上式整理后可以得到

$$ c_k e^{ik\omega t} + c_{-k} e^{-ik\omega t} = 2[a cos(\theta) - b sin(\theta) ] $$

不要在意中间是负号，如果当初我们记 \( c_k = a - i b\)，这里就是完美的正号了。

于是

$$ c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}( a_k cos(\theta_k) - b_k sin(\theta_k)  )$$

到这里，你应该明白了，所谓正负频率，不过是因为我们采用了复指数（就是那个 \( e^{it} \) 表示而产生的结果罢了——要想把\( cos(t), sin(t) \)表示成一个东西，总要付出些代价的。

好吧，一句话，根本就没有负频率，马甲而已！

相位谱

上面我们得到了

$$ c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}( a_k cos(\theta_k) - b_k sin(\theta_k)  )$$

如果我们取 \( r_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}\)，则上式可以整理成

$$c(t) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}r_k( \frac{a_k}{r_k} cos(\theta_k) - \frac{b_k}{r_k} sin(\theta_k)  ) = c_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty}r_k cos(\theta_k + \phi_k) $$

其中 \( \phi_k = tan^{-1}(\frac{b_k}{a_k})\)，上式中最后一步是由两角和的余弦公式整理得到的。

如果这时我们把 \( r_k \) 称为振幅谱，把 \( \phi_k \) 称为相位谱，你还觉得奇怪吗？