动态规划法
1. 适用范围
题目类型——定性判断：
很多人觉得DP难（下文统称动态规划为DP），根本原因是因为DP区别于一些固定形式的算法（比如DFS、二分法、KMP），没有实际的步骤规定第一步第二步来做什么，所以准确的说，DP其实是一种解决问题的思想。
这种思想的本质是：一个规模比较大的问题（可以用两三个参数表示的问题），可以通过若干规模较小的问题的结果来得到的（通常会寻求到一些特殊的计算逻辑，如求最值等）。
所以我们一般看到的状态转移方程，基本都是这样：
dp[i] = opt(dp[i-1])+1
dp[i][j] = w(i,j,k) + opt(dp[i-1][k])
dp[i][j] = opt(dp[i-1][j] + xi, dp[i][j-1] + yj, ...)
# opt： 指代特殊的计算逻辑，通常为 max() 或 min()
# i,j,k 是在定义DP方程中用到的参数
2. 从问题入手
每一个状态转移方程，多少都有一些细微的差别。这个其实很容易理解，世间的关系多了去了，不可能抽象出完全可以套用的公式。
动态规划的核心，就是找到问题中的状态方程（从复杂问题向更小规模问题的化简过程）。
2.1. 爬楼梯
题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是一个正整数。
示例：
输入：3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
分析：
- 上 1 阶台阶：有1种方式。
- 上 2 阶台阶：有1+1和2两种方式。
- 上 3 阶台阶：到达第3阶的方法总数就是到第1阶和第2阶的方法数之和。
- 上 n 阶台阶，到达第n阶的方法总数就是到第 (n-1) 阶和第 (n-2) 阶的方法数之和。
我们令 dp[n] 表示能到达第 n 阶的方法总数，可以得到如下状态转移方程：
dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
代码：
func climbStairs(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
// 构建状态数组
dp := make([]int, n+1)
// 初始状态
dp[1] = 1
dp[2] = 2
// 边界条件
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] // 状态方程
}
return dp[n]
}
2.2. 最大子序和
题目：
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例 ：
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
分析：
-
状态定义：
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和。 -
转移方程：
dp[i] = dp[i-1] + nums[i], if (dp[i-1] >= 0)但是这里我们遇到一个问题，很有可能dp[i-1]本身是一个负数。那这种情况的话，如果dp[i]通过dp[i-1]+nums[i]来推导，那么结果其实反而变小了，因为我们dp[i]要求的是最大和。所以在这种情况下，如果dp[i-1]<0，那么dp[i]其实就是nums[i]的值。即
dp[i] = nums[i] , if (dp[i-1] < 0)综上：
dp[i]=max(nums[i], dp[i−1]+nums[i]) -
初始状态：
dp[0] 一定是以 nums[0] 进行结尾，所以
dp[0] = nums[0] -
在很多题目中，因为dp[i]本身就定义成了题目中的问题，所以dp[i]最终就是要的答案。但是这里状态中的定义，并不是题目中要的问题，不能直接返回最后的一个状态 (这一步经常有初学者会摔跟头)。所以最终的答案，其实我们是寻找：
max(dp[0], dp[1], ..., d[i-1], dp[i])
def max_subseq(li):
# li = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
dp = [0] * len(li)
dp[0] = li[0]
for i in range(1,len(li)):
# if dp[i-1] > 0:
# dp[i] = dp[i-1] + li[i]
# else:
# dp[i] = li[i]
dp[i] = max(li[i], dp[i-1] + li[i])
return max(dp) # 6
2.3. 最长上升子序列
题目：
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
转移方程：
dp[i] = max(dp[j]+1, dp[k]+1, dp[p]+1, ...)
# 只要满足：
nums[i] > nums[j]
nums[i] > nums[k]
nums[i] > nums[p]
...
代码实现：
def length_LIS(li):
# li = [10,9,2,5,3,7,101,18]
dp = [1] * len(li)
for i in range(1, len(li)):
curr = li[i]
for j in range(i):
if curr > li[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] +1)
return max(dp) # 4
2.4. Coin Change（LintCode-669, 换硬币）
求极值
思路：
-
用一个dp[]来表示状态：
dp[x]表示拼出x所用的最少硬币数 -
最优策略的最后一步：
dp[i] = min(dp[i-2]+1, dp[i-5]+1, dp[i-7]+1) -
转移方程
-
初始条件和边界情况（停下来）
def coin_change(x, choices):
# dp[x] 表示拼出x所用的最少硬币数
dp = [float("inf")] * (x+1)
for i in range(1, x+1):
for j in choices:
if i == j:
dp[i] = 1
elif i > j:
# dp[i] = min(dp[i-2]+1, dp[i-5]+1, dp[i-7]+1)
dp[i] = min(dp[i-j]+1 , dp[i])
# print(dp)
return dp[x]
3. Unique Paths（LintCode-114, 机器人路径）
4. 计算字符串相似度（最优子结构和重叠子问题）
对于两个字符串A和B，通过基本的增删改将字符串A改成B，或者将B改成A，在改变的过程中我们使用的最少步骤称之为“编辑距离”。
- "A"与"B"的编辑距离很显然是1；
- "A"改成"AB"的编辑距离为1，"A"与"ABA"的编辑距离为2；
- “ABA”和“BBA”的编辑距离为1。
