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某科学的PID算法学习笔记

  最近,在某社团的要求下,自学了PID算法。学完后,深切地感受到PID算法之强大。PID算法应用广泛,比如加热器、平衡车、无人机等等,是自动控制理论中比较容易理解但十分重要的算法。

  下面是博主学习过程中所做的笔记,笔记后面提供了4种编程语言的仿真代码(C, C++, Python, Matlab),使实现方式更加灵活,同时增强对PID的理解。(文章较长,可点击右侧目录选择性阅读)


 

PID算法学习笔记 

参考:PID基础入门教程

一、位式控制算法

  1.1 位式控制算法原理

  位式控制算法,通过比较SV(设定值)和PV(当前值),输出高低电平给执行部件,执行部件(如开关)通过执行/停止来控制目标(如加热器),控制对象通过传感器将当前值反馈给控制算法,如图1。

图1 位式控制算法简单应用

  1.2 位式控制算法特点

  位式控制算法具有如下特点:

    (1)输出信号一般只有两种状态(LOW / HIGH)。

    (2)通过比较SV和PV的值来产生OUT值,比如PV < SV输出高电平,PV > SV输出低电平。

    (3)只比较控制对当前的状态值。

 

  1.3 位式控制算法缺陷

  位式控制算法的缺陷:

    (1)输出信号单一,缺乏包容性。

    (2)仅仅活在当下,没有回顾历史和展望未来。

 

二、PID控制算法

  2.1 PID算法原理

  PID控制算法,通过分析PVSV的偏差值(包括当前偏差、历史偏差、最近偏差),输出值(PWM)经过执行器转换后应用于控制对象,控制对象通过传感器将PV反馈给PID,通过硬件寄存器等记录偏差值,以便PID随时调用,如图2。

 图2 PID控制算法简单应用

  假设从“0”时刻到 k 时刻,传感器获取的状态值分别为

X0,X1,X2,...,Xk1,Xk

  

  2.2 PID比例控制

  在2.1的条件下,设偏差值 E为设定值与当前值之差,即

Ek=SVXk

  实际应用中的偏差值存在如下3种情况

  分析以上三种情况,不同情况下算法将输出不同值。比如算法在Ek > 0时输出较高的值,以促进当前值接近设定值。而实际应用中,控制对象的状态偏差值一般不能直接作为PWM输出值,需要进行一定比例的放大或缩小,以提高控制灵敏度。因此输出值满足关系式

Pout=KpEk+OUT0  

  其中,POUT为输出值,一般与PWM有关。K为比例系数,对偏差值Ek 进行一定比例的放大或缩小。OUT是当偏差值为 0 时,算法的输出值,防止负载失控。分析公式可知,偏差值E越大,输出值越大,当前值接近设定值的速度越快,当前值超过设定值时,E< 0, 算法输出负值,当前值减小。往复循环,直到当前值稳定在设定值的误差允许范围内。

 

  2.3 PID积分控制

  在2.2的条件下,将历史偏差相加,其和为

Sk=E0+E1+E2+...+Ek1+Ek

  实际应用中的历史偏差值之和存在如下3种情况

  不同情况下输出值应不同,分析以上情况,可以令输出值满足关系式

Iout=KpSk+OUT0  

  其中Iout为输出值,Kp为比例系数,Sk为历史偏差和,OUT0为初始值。通过上述算法,可以对控制对象的历史状态值进行评估,根据历史状态判断输出值的大小。这种方法比较局限,因为当历史值较多时,当前值的变化将很难引起输出值改变,因此积分控制一般不会从0开始启动,当当前值接近设定值时才开启积分控制,以减少参考的历史值。

 

  2.4 PID微分控制

  在2.2的条件下,将最近两次偏差值相减,其差为

Dk=EkEk1

  实际应用中的最近偏差值之差存在如下3种情况

  不同情况下输出值应不同,分析以上情况,可以令输出值满足关系式

Dout=KpDk+OUT0  

  其中Dout为输出值,Kp为比例系数,Sk为历史偏差和,OUT0为初始值。通过最近偏差值之差,判断偏差值的变化趋势,预测未来的偏差值大小,从而输出对应的PWM

 

  2.5 PID算法模型

  根据以上分析,每种控制算法均有较大局限。因此综合①②③算法,令输出值为

PIDoutk=Pout+Iout+Dout

  代入①②③关系式,并进行简单归并,得到关系式

PIDoutk=Kp(Ek+Sk+Dk)+OUT0  

  分析上式中 S, Dk 的值,假设T为计算周期,即每次运行算法的时间间隔,Ti为积分时间常数,用于控制积分算法对输出值的影响因数,Td为微分时间常数,用于控制微分算法对输出值的影响。

  综上,积分控制Sk满足关系式

Sk=1Tikk=0EkT   

  微分控制Dk满足关系式

Dk=Td(EkEk1)T   

  综合④⑤⑥,并进行简单的归并处理后,得到PID的输出关系式

PIDoutk=P(KpEk)+I(KpTTikk=0Ek)+D[KpTdT(EkEk1)]   

  其中P,I,D分别表示比例,积分,微分控制。通过调整 Kp ,Ti ,T的值来调整P, I,D对输出值的影响权重,从而使当前值更快接近并稳定在设定值误差允许范围内。

  上述算法有一个明显的特点,即计算结果输出为PWM值,直接控制负载。因此又被称为“位置式PID算法“

  

  2.6 增量式PID算法

  实际应用中,大部分控制系统具有记忆功能,可以记录每个时刻状态值,因此为了减小累加产生的运算负担,可以采用计算“增量”的方式来输出控制信号。

  增量式PID算法的特点是只计算增加(减小)值,历史值加上增加值即为输出值,满足关系式

ΔPIDout=PIDoutkPIDoutk1   

  代入④关系式,

ΔPIDout=P[Kp(EkEk1)]+I(KpTTiEk)+D[KpTdT(Ek2Ek1Ek2)] 

  对比⑧式和⑦式,⑧式运算量更小。因此对于有记忆功能的硬件系统,可以使用增量式PID算法,以减少运算,提升性能。

 

 


 

PID仿真实验

一、问题

  既然是仿真实验,那就应该以模拟解决生活中的问题为主,为了进行比较具体,但不复杂的仿真实验,博主绞尽脑汁,终于构造了下面这个题目。

  在《机甲大师》动漫中,主角“单单”拥有一架语音遥控的双旋翼无人机,名叫“KAKA"。如图1,动漫第一集5:35左右,KAKA在追踪飞盘时,突然受海风影响,飞行姿态偏离水平位置。性能超高的KAKA通过内部传感器测得偏角后,迅速调整姿态,恢复水平。请对这一情形进行建模分析。

 

图1 被海风影响的KAKA

二、解答

  分析题目,需要对KAKA“恢复姿态”这一现象进行分析。围绕这个问题,下面以“建立物理模型→建立数学模型→算法仿真”进行逐步分析。

  2.1 建立物理模型

  首先简化问题,将KAKA看作刚性直杆。如图2.1,一质量为2m,长度为2r的刚性直杆,两端垂直固定一个不计质量的直流电机。直杆可以绕中心自由旋转,初始位置相对水平线偏离θ角。

 

  为了使直杆恢复水平位置,改变右端电机转速,产生“额外”升力F

 

 

 

  根据以上参数,在理想情况下,可以得到直杆的合外力矩M满足

M=Fr

  转动惯量J满足

J=23mr2

  由刚体轴转动定理

M=Jα

  其中α为角加速度,满足关系式

α=d2θdt2

  其中t为时间,联立①②③④,求解微分方程可得到关系式

θt=3F4mrt2

  其中θ为直杆在力合外力F的作用下,经过时间t后转动的角度。

 

  2.2 建立数学模型

  设T为计算周期,在⑤式的条件下,令t=T,在T时间内直杆转动角度满足关系式

θT=3F4mrT2

  假设F随时间的变化周期为T,那么经过t时间后,F变化n次,直杆转动角度满足

 θ=3T24mrnn=0Fn

  直杆与水平线的当前偏差角Ek满足

Ek=θ03T24mrkn=0Fn

  上式即为直杆在恢复水平位置过程中,在合外力F作用下,当前偏角对于时间的函数。

  参考实际情况,由于合外力以T为周期发生变化,该偏角函数曲线应如满足图2.2

 

图2.2 (预测)直杆偏角对于时间的变化曲线

 

  分析上图曲线,发现其变化趋势可以用PID算法进行拟合。

 

  2.3 PID算法仿真 

  分析关系式⑧,其中T可以看作采样周期,F为算法输出值,Ek为当前偏差角。应用位置式PID算法,设比例系数为Kp,积分时间常数为Ti,微分时间常数为Td,输出值满足PID算法关系式 

Foutk=KpEk+KpTTikk=0Ek+KpTdTEkEk1

  分析⑧式,为了简化计算,不妨令

m=0.3,  r=0.1θ0=π3SI

  则当前偏差角满足

Ek=π325T2kn=0Foutn

   综上,可以假设如表2.3中的参数

表2.3 PID参数

  下面,在上述模型条件下,用5种编程语言(Matlab, C, C++, Python)进行算法仿真。

 


 

 

1) Matlab

比较方便,可以先通过Matlb仿真确定PID系数

  源码:

 

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clear,clc,close all % 清屏
 
syms x
SV = 0; % 设定值,角(弧)度 0 (rad)
T = 0.01; % 计算周期/采样周期
Kp = 50; % 比例系数
Ti = 5;  % 积分时间常数
Td = 0.05; % 微分时间常数
 
E = []; % 历史偏差
Fout = []; % 输出值,升力
E(1) = pi ./3; % 初始角度 π/3 (rad)
 
for i = 1:1:3 % 绘制3种比较曲线
    if i == 2;
        Kp = 50;  % 比例系数
        Ti = 0.05;   % 积分时间常数
        Td = 0.05; % 微分时间常数
        E = []; % 历史偏差
        Fout = []; % 输出值,升力
        E(1) = pi ./3; % 初始角度 π/3 (rad)
    end % if i ==2
     
    if i ==3;
        Kp = 50;  % 比例系数
        Ti = 5;   % 积分时间常数
        Td = 0.005; % 微分时间常数
        E = []; % 历史偏差
        Fout = []; % 输出值,升力
        E(1) = pi ./3; % 初始角度 π/3 (rad)
    end % if i ==3
     
    for t = 0:0.01:3; % 计算300次
        k = round(t*100 + 2); % 当前指数
         
        E(k) = E(1) - 25*(T^2)*sum(Fout); % 获取当前值
         
        %#### 核心,PID计算输出值 ####%
        if k>2;
            if E(k) != 0;
                Fout(k) = Kp*(E(k) + (T./Ti)*sum(E) + (Td./T)*(E(k)-E(k-1)));
            end % end if E(k) !=0
        end % end if k>2
        %#############################%
         
        k++; % 当前指数+1
         
    end % end for 计算400次
 
    hold on
    plot(E) % 显示数据图
end % for 绘制3种比较曲线
 
legend('PID(50, 5, 0.05)','PID(50,  0.05, 0.05)','PID(20,  5,   0.005)')
 
hold on
plot([0,300],[0,0],'--'); % 显示参考线,斜率0,截距0

  运行结果

 


 

 

2) C语言

 

复制代码
 1 /**@file     main.c
 2 * @brief     位置式PID  C语言算法仿真
 3 * @author    BROSY
 4 * @copyright CSU | BROSY
 5 ********************************************************************************/
 6 
 7 
 8 /*************************************************************************************
 9 注:以便查阅,我将所有函数和声明都放在main.c中,进行项目实践时,再设计文件架构
10 *************************************************************************************/
11 
12 
13 #include<stdio.h>
14 #define PI (3.1416)
15 
16 typedef struct {
17     const int SV = 0; // 设定值(弧度rad)
18 
19     double InitVal;        //初始偏差值
20     double T;            // 采样周期
21     double Kp;        // 比例系数
22     double Ti;        // 积分时间常数
23     double Td;        // 微分时间常数
24     double Ek;        //当前偏差
25     double SumEk;    //历史偏差之和
26     double Ek_1;        //上次偏差
27     double SumFout;    // 输出值之和
28 }PID_Structure;
29 
30 /**
31 @brief    位置式PID输出函数
32 @param    [in] PID结构体
33 @return    算法输出值(额外升力)
34 */
35 double PID_OUT(PID_Structure* PID)
36 {
37     double Fout;
38     Fout = PID->Kp * (PID->Ek
39         + (PID->T / PID->Ti) * PID->SumEk
40         + (PID->Td / PID->T) * (PID->Ek - PID->Ek_1));
41 
42     return Fout;  // 输出值(额外升力)
43 }
44 
45 
46 /**
47 @brief    获取当前偏差值
48 @param    [in] PID结构体, 历史输出值(数组)
49 @return    kaka当前状态偏差值
50 */
51 double GetCurrE(PID_Structure PID)
52 {
53     double Ek;
54     Ek = PID.InitVal - 25 * (PID.T * PID.T) * PID.SumFout;
55     return Ek;
56 }
57 
58 int main()
59 {
60     PID_Structure PID; // 创建PID
61 
62     PID.InitVal = PI / 3;
63     PID.T = 0.01;
64     PID.Kp = 50;
65     PID.Ti = 5;
66     PID.Td = 0.005;
67     PID.Ek = 0;
68     PID.Ek_1 = 0;
69     PID.SumFout = 0;
70     PID.SumEk = 0;
71 
72     // 计算400次
73     for (int i = 0; i < 400; i++)
74     {
75         if (i > 0)
76         {
77             PID.Ek_1 = PID.Ek; // 获取k-1的偏差值
78         }
79         PID.Ek = GetCurrE(PID); // 获取当前偏差值
80         PID.SumEk += PID.Ek; // 历史偏差之和
81 
82         printf("%f\n", PID.Ek);
83         if (PID.Ek != 0 && i > 0) // 误差
84         {
85             PID.SumFout += PID_OUT(&PID); // 获取输出值之和
86 
87         }
88         else
89         {
90             PID.SumFout += 0; // 储存输出值
91         }
92     }
93 
94 }
//C show all 
复制代码

将输出结果导入到excel中并绘制曲线:

 

 


 

3) C++

复制代码
 1 /**@file     main.cpp
 2 * @brief     位置式PID  C语言算法仿真
 3 * @author    BROSY
 4 * @copyright CSU | BROSY
 5 ********************************************************************************/
 6 
 7 #include "PID.h"
 8 
 9 int main()
10 {
11     PID* pid[3]; // 创建PID
12 
13 
14     pid[0] = new PID(50, 5, 0.05); // 初始化PID1
15     pid[1] = new PID(50, 0.05, 0.05); // 初始化PID2
16     pid[2] = new PID(50, 5, 0.005); // 初始化PID3
17 
18     for (int i = 0; i < 3; i++)
19     {
20         pid[i]->Loop(400);// 计算400次
21         delete pid[i]; // 释放内存
22     }
23 }
//main.cpp 展开全部
复制代码
复制代码
 1 #include "PID.h"
 2 #include <iostream>
 3 /**
 4 @brief    初始化PID参数
 5 @param    [in] P I D系数
 6 只设置P I D的系数,其余默认
 7 */
 8 PID::PID(double P, double I, double D)
 9 {
10     Kp = P;
11     Ti = I;
12     Td = D;
13 
14     InitVal = (3.1426)/3; // 初始偏差值π/3
15     T  = 0.01;            // 采样周期
16     Ek = 0;            //当前偏差
17     SumEk = 0;        //历史偏差之和
18     Ek_1 = 0;            //上次偏差
19     SumFout = 0;        // 输出值之和
20 }
21 
22 /**
23 @brief    位置式PID输出函数
24 @return    算法输出值(额外升力)
25 */
26 double PID::PID_OUT()
27 {
28     double Fout;
29 
30     Fout = Kp * (Ek
31         + (T / Ti) * SumEk
32         + (Td / T) * (Ek - Ek_1));
33 
34     return Fout;  // 输出值(额外升力)
35 }
36 
37 
38 /**
39 @brief    获取当前偏差值
40 @return    kaka当前状态偏差值
41 */
42 double PID::GetCurrE()
43 {
44     double Ek;
45     Ek = InitVal - 25 * (T * T) * SumFout;
46     return Ek;
47 }
48 
49 /**
50 @brief    循环计算并输出值
51 @param    [in] 计算次数
52 */
53 void PID::Loop(int times)
54 {
55     std::cout << "计算次数:" << times << std::endl;
56     std::cout << "P  = " << Kp << std::endl;
57     std::cout << "I  = " << Ti << std::endl;
58     std::cout << "D  = " << Td << std::endl<<std::endl;
59 
60     for (int i = 0; i < times; i++)
61     {
62         if (i > 0)
63         {
64             Ek_1 = Ek; // 获取k-1的偏差值
65         }
66         Ek = GetCurrE(); // 获取当前偏差值
67         SumEk += Ek; // 历史偏差之和
68 
69         std::cout << Ek << std::endl;
70         if (Ek != 0 && i > 0) // 误差
71         {
72             SumFout += PID_OUT(); // 获取输出值之和
73 
74         }
75         else
76         {
77             SumFout += 0; // 储存输出值
78         }
79     }
80 }
//PID.cpp
复制代码
复制代码
#pragma once
class PID
{
private:
    const int SV = 0; // 设定值(弧度rad)

    double InitVal;        //初始偏差值
    double T;            // 采样周期
    double Kp;        // 比例系数
    double Ti;        // 积分时间常数
    double Td;        // 微分时间常数
    double Ek;        //当前偏差
    double SumEk;    //历史偏差之和
    double Ek_1;        //上次偏差
    double SumFout;    // 输出值之和

public:
    PID(double P, double I, double D); // PID初始化,只输入PID系数,其余默认

    double PID_OUT(); // PID算法核心,计算输出值
    double GetCurrE(); // 获取当前值

    void Loop(int times); // 循环计算输入计算次数
};
//PID.h
复制代码

将输出结果导入到excel中并绘制曲线: 

 

 


 

 

4) Python

 

复制代码
 1 import matplotlib.pyplot as plt  # 导入绘图库
 2 import numpy as np
 3 
 4 '''
 5 @brief    位置式PID输出函数
 6 @param    [in] PID结构体
 7 @return    算法输出值(额外升力)
 8 '''
 9 
10 
11 def pid_out():
12     f_out = Kp * (Ek
13                   + (T / Ti) * sum_Ek
14                   + (Td / T) * (Ek - Ek_1))
15     return f_out
16 
17 
18 '''
19 @brief    获取当前偏差值
20 @param    [in] PID结构体, 历史输出值(数组)
21 @return    kaka当前状态偏差值
22 '''
23 
24 
25 def get_curr_e():
26     ek = init_val - 25 * (T ** 2) * sum_f_out
27     return ek
28 
29 
30 sv = 0.0  # 设定值
31 init_val = (3.1416) / 3  # 初始值
32 T = 0.01  # 采样周期
33 times = 300  # 计算次数
34 e = np.zeros(times)
35 for t in range(3):
36     Ek = 0.0  # 当前偏差
37     sum_Ek = 0.0  # 历史偏差之和
38     Ek_1 = 0.0  # 上一次偏差
39     sum_f_out = 0.0  # 输出值之和(升力)
40 
41     if t == 0:
42         Kp = 50  # 比例系数
43         Ti = 5  # 积分时间常数
44         Td = 0.05  # 微分时间常数
45     if t == 1:
46         Kp = 50  # 比例系数
47         Ti = 0.05  # 积分时间常数
48         Td = 0.05  # 微分时间常数
49     if t == 2:
50         Kp = 50  # 比例系数
51         Ti = 5  # 积分时间常数
52         Td = 0.005  # 微分时间常数
53 
54     '''
55     @brief    循环计算并输出值
56     @param    [in] 计算次数
57     '''
58     for i in range(times):
59         if i > 0:
60             Ek_1 = Ek
61 
62         Ek = get_curr_e()  # 获取当前值
63         sum_Ek = sum_Ek + Ek  # 获取历史值之和
64 
65         e[i] = Ek  # 储存当前值,方便后面绘图
66 
67         if Ek != 0 and i > 0:
68             sum_f_out = sum_f_out + pid_out()  # 获取输出值之和
69 
70     plt.plot(e, label='PID({0}, {1}, {2})'.format(Kp, Ti, Td))  # 画曲线图,显示PID图例
71 
72 plt.plot(np.zeros(times + 25), label='SV', linestyle='--')  # 设定值
73 plt.legend()  # 显示图例
74 
75 plt.show()
# View Code
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posted @   早起波比  阅读(1675)  评论(3编辑  收藏  举报
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