卡特兰数(Catalan Number)

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。该数在计算机专业中比较重要，有一些具体的应用实例。这篇文章主要分三部分：

1. 卡特兰数递归式的含义解释
2. 卡特兰数表达式的证明过程
3. 卡特兰数的计算机中的应用

Catalan Number递归式解释

假设h(0)=1，h(1)=1，catalan数满足递推式：

\[h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + h(2)*h(n-3) + ... +h(n-1)*h(0) \tag{1.1} \]

递归式背后有什么物理含义呢，这里以出栈序列问题进行说明：

问题描述：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

含义解释：首先，我们设\(h(n)\)=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有\(h(k-1)\)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有\(h(n-k)\)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，\(h(n-k)*h(k-1)\)种，求和便是Catalan递归式。

Catalan Number表达式证明

第n个卡特兰数h(n)表达式如下

\[h(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} \tag{1.2} \]

具体证明过程如下

为了便于编程实现，需要进一步推导h(n)与h(n-1)之间的关系

已知\(h(n)\)，易知

\[h(n-1)=\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{n} \]

推导\(h(n)\)的\(C_{2n}^{n}\)和\(h(n-1)\)的\(C_{2n-2}^{n-1}\)之间的关系，由\(kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}\)知

\[\begin{align} n*C_{2n}^{n}&=2nC_{2n-1}^{n-1} \\ C_{2n}^{n}&=2C_{2n-1}^{n-1} \\ C_{2n}^{n}&=2\frac{(2n-1)C_{2n-2}^{n-1}}{n} \\ C_{2n}^{n}&=2(2n-1)h(n-1) \\ \frac{C_{2n}^{n}}{n+1}&=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1) \\ h(n)&=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1) \end{align} \]

最终得到\(h(n)\)和\(h(n-1)\)之间的递归式\(h(n)=\frac{2(2n-1)}{n+1}h(n-1)\)

Catalan Number应用实例

括号匹配问题

问题描述: 矩阵连乘 \(P=A_1A_2...A_n\)，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，问有几种括号化的方案？

问题转换一下就是n对括号的正确匹配方案，可以做一下LeetCode-22

出栈次序问题

问题描述: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

出栈问题问题正是卡特兰数递归式\(h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)\)的由来

相关应用问题

1. 有2n个人排成一行进入剧场，入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

2. n个1和n个0组成一个2n位的二进制数，要求从左到右扫描，0的累计数不小于1的累计数，求满足条件的的数。

3. 12个人排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

   我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。对问题进行转化：用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，并且任意前缀中0的个数大于等于1的个数就对应一种方案，转化后的问题就是问题2了。

4. 给定节点组成二叉树的问题：给定n个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

   先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至n-1个相对应的，右边是n-1到0个，两两配对相乘，就是\(h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n)\)能构成\(h(n)\)个，因此二叉树问题也可以解释卡特兰数递归式(1.1)式的由来

5. n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法？

   要从左下角走到右上角则必须向上走n步，向右n步，同时为了不跨过主对角线，则走过的步数中向上走的步数必须大于等于向右走的步数，剖析之后发现这个问题与问题3是等价问题，走法有卡特兰数\(h(n)\)种。

   可以做一下下面两题练练手：

   hdoj2067-小兔的棋盘

   LeetCode62-Unique Paths

6. n个+1和n个-1构成的2n项序列，其部分和总满足：\(a_1+a_2+...+a_n>=0\)的序列的个数。

   卡特兰数表达式(1.2)式就是以该问题模型为基础推导出来的

参考链接:

1. https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/7628667