欧拉函数及其拓展（积性函数）

前言

作者在OI生活早期的时候，经常遇到一些数学题不会，点开题解发现许多跟数论上的函数有关，题解的语言又晦涩难懂，从此对数学心有余悸，相信许多OIer也同样是如此。这几篇博客，作者将对OI数论中常出现的几个函数进行解读，希望读者能解开对数学的心结。

积性函数

概念

积性函数是对数论中一系列有特殊性质函数的统称，性质如下：

若gcd(a,b)=1, f(ab)=f(a)f(b),那么f则是积性函数。

特别地，假如对于任意的a、b，即gcd(a,b)≠1 也有f(ab)=f(a)f(b) ，那么称f是完全积性函数。

小扩展

一个有趣的事实：

对于函数g(n)=∑ d|n f(d),如果g是积性函数，那么f也是积性函数。
上面那个式子中，d|n 的意思是在枚举n 的所有约数。证明的话可以使用归纳法，作者将会在后面补上一篇关于上述式子证明的博客，读者也可以尝试自己推导一下。

常见积性函数

1、e(n)=[n=1] .
单位元函数，即只有在n 为1的时候函数值为1，其它时候函数值均为0.

2、id(n)=n .
这个可以理解成就是y=x .

3、1(n)=1 .
可以理解成直线y=1 .

4、φ(n)=∑ n i=1 [gcd(i,n)=1] .
欧拉函数，本次要讲解的主角，表示小于n且与n互质的正整数的个数.

5、μ(n)={ 0, ∃d>1,d 2 |n (−1) k ,n=∏ k i=1 p i
莫比乌斯函数，本文不作探究，详见下一篇博客。

小结

积性函数在数论中十分常见，一个函数假如有积性那么就多了许多解析的方法，在你涉（shua）猎（ti）的数值达到一定量的时候会发现积性是个亲切的东西，比如我们可以利用欧拉函数和莫比乌斯函数的积性来进行线性筛，O(n)时间求得所有欧拉函数、莫比乌斯函数值。

欧拉函数

注：阅读以下内容时请拿出笔和纸，下面涉及的计算量比较大，用笔算一算将助于理解。

概念

正如上一节所述，欧拉函数φ(n) 表示的含义即是小于n且与n互质的正整数的个数。定义式如下：

φ(n)=∑ i=1 n [(gcd(i,n)=1]

基本性质
•1.对于一个质数p，φ(p)=p−1.

证明：根据质数的定义，对于任意一个不是p倍数的正整数x，总有gcd(p,x)=1 ，即p与x互质。在1~p之间，只有1× p是p的倍数，故在1~p中，与p互质的数为1到p-1，共p-1个，φ(p)=p−1 。
•2.对于一个质数p，φ(p k )= p k −p k−1 = p k−1 ×(p−1)= p k−1 ×φ(p) .

证明：我们知道，在1~p之间与p不互质的数共1个，在1~2× p之间与p不互质的数共2个……在1~p k ×p 之间有p k−1 个。所以在1~p k 之间与p不互质的数有p k−1 个，互质的那就是p k −p k−1 ，故φ(p k )= p k −p k−1 ，即第二个式子。然后提取公因数p k−1 得到第三个式子。结合性质1得到第四个式子。
•3.对于一个数n，我们将其质因数分解为n=∏ k i=1 p r i i ，那么
φ(n)= ∏ i=1 k φ(p r i i )= ∏ i=1 k p r i −1 ×(p−1)= n×∏ i=1 k (1−1p i )
.

证明：由于欧拉函数有积性，φ(ab)=φ(a)φ(b) ，所以有φ(n)= ∏ k i=1 φ(p r i i ) 。结合性质2的第三个式子，我们可以得到第三个式子。对于第三个式子，我们提取一个公因子p，得到

∏ i=1 k p r i ×(1−1p i )= (∏ i=1 k p r i )×(∏ i=1 k (1−1p i ))= n×∏ i=1 k (1−1p i ).
得证。

扩展性质
•1.假如a，b不互质，那么φ(ab) 等于什么呢？

结论：令d=gcd(a,b)，则φ(ab)= φ(a)φ(b)dφ(d) .

证明：

将a、b、d分解成

a=∏ i=1 m p r 1 i i ， b=∏ i=1 m p r 2 i i ， d=∏ i=1 m p min(r 1 i, r 2 i) i
那么a×b 可以分解成
a×b=∏ i=1 m p r 1 i+r 2 i i
结合基本性质3，有：
φ(a)=∏ i=1 m φ(p r 1 i i )， φ(b)=∏ i=1 m φ(p r 2 i i )， φ(d)=∏ i=1 m φ(p min(r 1 i, r 2 i) i )，a×b=∏ i=1 m φ(p r 1 i+r 2 i i )

所以，我们将原式转化成如下形式：
∏ i=1 m φ(p r 1 i+r 2 i i )=∏ m i=1 φ(p r 1 i i )×∏ m i=1 φ(p r 2 i i )×∏ m i=1 p min(r 1 i, r 2 i) i ∏ m i=1 φ(p min(r 1 i, r 2 i) i )
结合基本性质3，进一步转化：
左边=∏ i=1 m p r 1 i+r 2 i−1 i (p i −1)

右边=∏ m i=1 p r 1 i−1 i (p i −1)×∏ m i=1 p r 2 i−1 i (p i −1)×∏ m i=1 p min(r 1 i, r 2 i) i ∏ m i=1 p min(r 1 i, r 2 i)−1 i (p i −1)

= ∏ i=1 m p r 1 i−1 i (p i −1)× p r 2 i−1 i (p i −1)× p min(r 1 i, r 2 i) i p min(r 1 i, r 2 i)−1 i (p i −1)

对上面那一长串式子进行约分，我们发现右边等于左边，得证。
•2.对于任意正整数n，φ(n) 与n 有什么样的关系？

结论：n=∑ d|n φ(d).

证明：
我们不妨换个角度思考一下。

我们知道n=∑ n i=1 1 ，如何解读这个简单式子呢？我们把n看成一个确定的数，这个式子就可以理解成：枚举1~n中的每一个数i，每个f(i,n) 只产生1的贡献，统计每个f(n,i) 产生的贡献和。

换句话说，我们本来想统计∑ n i=1 f(n,i) ，但由于每一个f(n,i) 都等于1，所以变成了∑ n i=1 1.

于是，现在的关键变成了寻找这个特殊的f(n,i). 正好我们发现了一个。

我们知道，在1~n中的每一个i，它与n的最大公约数有且仅有一个，且最大公约数一定在1~n这个范围之内。我们可以令f(n,i)=[gcd(n,i)=d] ，（[中括号]内的表达式若为真则值为1，否则为0）然后在1~n中枚举最大公约数d，对每一个i进行判断，不就满足上面的式子了！

也就是：

n=∑ i=1 n 1=∑ d=1 n ∑ i=1 n [gcd(n,i)=d].

其中d枚举的是最大公约数，i枚举的是1~n中的每一个i，f(n,i)=[gcd(n,i)=d] 。

其实我们发现，d的取值一定是n的约数，并不需要枚举1~n中的所有数，所以有：

n=∑ d=1 n ∑ i=1 n [gcd(n,i)=d]=∑ d|n ∑ i=1 n [gcd(n,i)=d].

对上面第三个式子进一步转化：

∑ d|n ∑ i=1 n [gcd(n,i)=d]=∑ d|n ∑ i=1 n [gcd(nd ,id )=1]×[ d|i ]

观察上面第二个式子，之所以转化成这么鬼畜的东西是因为第一个式子中[gcd(n,i)=d] 这个式子值为1的时候，d 一定是i 的约数，所以在第二个式子中也必须要满足d 是i 的约数时，[gcd(nd ,id )=1] 才有贡献。

转化到这里，细心的读者估计也发现了，第二个式子中id 的取值范围实际上是1~nd ，所以∑ n i=1 [gcd(nd ,id )=1]×[ d|i ] 其实就是在枚举在1~nd 中，有多少个数与nd 互质，这不就是φ(nd ) 吗？

至此，我们便将原式转化成：

n=∑ d|n ∑ i=1 n [gcd(nd ,id )=1]×[ d|i ]=∑ d|n φ(nd ).

得证。

其实还有一种有趣的证明，我会在后面连同上面积性函数小扩展的证明一同发布一篇博客。

欧拉函数求法
•1.质因数分解.

假如我们只想求解1个或者少量正整数的欧拉函数，那么

根据基本性质3，

φ(n)=n×∏ i=1 k (1−1p i )=n×∏ i=n k (p i −1)p i

我们可以把n质因数分解，然后带入上述第三个式子求得。时间复杂度O(n √ ).

int get_phi(int n){
int back = n;
for(int p = 2; p*p <= n; ++ p){
if(n%p == 0){
back = back/p*(p-1);
while(n%p == 0)
n /= p;
}
}
if(n != 1)
back = back/n*(n-1);

return back;

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•2.线性筛

注：默认读者已经掌握线性筛质数.

假如想要求1~n范围内所有数的欧拉函数，那么上面的质因数分解法的复杂度会高达O(nn √ ) ，有没有更快速的方法呢？

由于欧拉函数有积性，所以结合扩展性质1：

令d=gcd(a,b)，则φ(ab)= φ(a)φ(b)dφ(d) .

我们可以通过线性筛质数，在筛出合数x×pri j 的同时计算出φ(x×pri j ) 。（注：pri j 为已经筛出来的质数，见线性筛）

不过，需要分2种情况计算：

1.x与pri j 互质.

这种情况比较简单。由于d=1 ，φ(d)=1 ，所以

φ(x×pri j )=φ(x)×φ(pri j )
直接计算即可。

2.x与pri j 不互质.
这种情况下，x 只可能是pri j 的倍数，故d=gcd(x,pri j )=pri j ，所以：

φ(x×pri j )=φ(x)φ(pri j )pri j φ(pri j ) =φ(x)×pri j .

带入计算即可。

bool vis[1000005];
int tot=0, pri[1000005], phi[1000005];

void Get_phi(int N){
phi[1] = 1;
for(int i=2; i<=N; ++i){
if(!vis[i]){
pri[++tot] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(int j=1,x; j<=tot&&(x=i*pri[j])<=N; ++j){
vis[x] = true;
if(i%pri[j] == 0){
phi[x] = phi[i]*pri[j];
break;
}
else phi[x] = phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
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小结

欧拉函数的讲解就先告一段落，其实欧拉函数与其它的函数甚至定理有许多关联的地方，我将在今后为大家讲解。假如有地方没有听懂，随时欢迎骚扰。

——wrote by miraclejzd