组合数学 -Oier学习游记
组合数学
一、计次
1.计次的基本原理
·加法原则 ——>分类思想
举个例子，假设我们旅游去一个地方，坐火车有3种线路可达，坐飞机有1种线路可达，坐高铁有2种线路可达，根据加法原则，总共的方案数为：3+1+2=6种；
·乘法原则 ——>分步思想
举个例子，还是假设我们旅游坐火车去一个地方，从A地点到B地点有5条线路可达，从B地点到C地点又有5条线路可达，根据乘法原则，总共的方案数为：5*5=25种方案；
·减法原则 ——>与特判相似，即从总体上看，排除不合理情况
举个例子，还是假设我们坐火车旅游去一个地方，从A地点到B地点有5条线路可达，从B地点到C地点又有5条线路可达，但是由于天气原因，从A地点到B地点的一条线路停运了，根据减法原则，从总体上看，若没有那条线路没有停运，则有5*5=25种方案，但是线路停运了，导致了1(一条线路停运)*5(从那条线路到达B地点再到C地点的5条线路也停运了)=5种，所以总共的方案数为：25-5=20种；
·除法原则 ——>简单理解为分组也可以
举个例子，假设我们现在在规划交通线路，有30条线路可用，要平均分配给5个站点，问每个站点能分到多少条线路，根据除法原则，每个站点分到的线路有：30 / 5 = 6个站点；
二、排列组合
1.排列（Permutation）
概念：从N个不同的元素中，取R个不重复的元素，按次序排列，成为从N个元素中取R个元素的无重排列。在旧教材中排列个数用P(N,R)表示，或Pnr，新教材中排列个数用A(N,R)表示，或Anr
·排列的基本模型
从N个不同的球中，取出R个，放入R个不同的盒子里，每盒1个。（N>=R）
第一步，从N个球中取出1个球，一共有N种选择
第二步，取出1个球后，剩下N-1个球，所以剩下N-1种选择
······
······
······
第R步，因为我们还没有取第R个球，所以剩下(N-R+1)个球，只剩下选择(N-R+1)种选择
R步之后，任务完成，全部取完
所以我们来推导一下排列的公式
根据乘法原则，此问题总方案数为：P(N,R) = N *（N-1）*（N-2）*······*（N-R+1）
为了容易看出来 ，我们调换一下顺序 P(N,R) = (N-R+1）*······*（N-2) * (N-1) * N
我们会得到以下的公式
初学的Oier应该有做过阶乘的题吧？ 例如 5！=1*2*3*4*5 这里不再累赘
特别地，对于R=N时，称为求P(N,N)的全排列，此时P(N,N) = N! （我们规定0！= 1 ，所以不存在分母为0的情况）
·排列P(N,R)的递推关系
&分步递推
问题：从N个乒乓球里选出R个放入R个盒子，求有多少种方案
回到这幅图，
—假设我们选择一个球放入第一个盒子
·有N种选择
—从剩下N-1个球种选出R-1个球放入R-1个盒子
·有P(N-1,R-1)种选择
根据乘法原则，总方案数有：P(N,R) = N * P(N-1,R-1)
&分类递推
看上图，
—假设我们第一步不选择第一个球放入任一盒子
·有P(N-1,R)种选择
—假设我们第一步选择第一个球放入任一盒子
·根据乘法原理，第一个球放入任一盒子有R种选择（R个盒子），剩下N-1个球和R-1个盒子，所以有R * P(N-1,R-1)种选择
根据加法原则，总方案数有：P(N,R) = P(N-1,R) + R * P(N-1,R-1)
2.组合（Combination）
概念：从N个不同元素中取R个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从N个元素中取R个元素的无重组合。（N>=R）
组合的个数用C(N,R) 或 Cnr
·组合的基本模型
从N个不同的球中，取出R个，放入R个相同的盒子里，每盒1个。（N>=R）
与此图不同的是，组合问题中盒子是相同的，所以不存在盒子的编号，这是两个问题的不同之处
那么，我们如何把这个组合问题变成排列问题呢？是不是只需要把盒子重新编号就行了？
对，就是把盒子重新编号，那盒子的编号一共有多少种呢？
即盒子数的全排列 ——> R!
所以我们不难得到组合公式的推导过程
C(N,R) * R! = P(N,R)
所以，我们得到组合的公式
·组合C(N,R)的性质
1.C(N,R) = C(N,N-R)
2.C(N,L) * C(L,R) = C(N,R) * C(N-L,R-L)
公式推导详见：https://wenku.baidu.com/view/aba14c09f6ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8dfa.html
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