斯特林近似证明

\[\frac{n!}{n^n}\approx \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n} \]

证明：

先证华莱士公式

我跟他谈笑风生（误

\[\lim_{n\to \infty}(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2} \]

令

\[I_n=\int_0^{\pi/2}sin^nxdx \]

容易证明：

\[I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} \]

\[I_0=\frac{\pi}{2},I_1=1 \]

定义双阶乘

\[n!!=\prod_{i=1}^n 1\times([2|(n-i)]i) \]

即相同奇偶性乘起来。

根据上式可知：

\[I_{2k}=\frac{(2k-1)!!\pi}{(2k)!!2},I_{2k+1}=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \]

又

\[sin^ax<sin^bx,a>b,x\in(0,\pi/2) \]

故

\[I_{2k+1}<I_{2k}<I_{2k-1} \]

\[\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}<\frac{(2k-1)!!\pi}{(2k)!!2}\frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!} \]

于是

\[1<\frac{\pi/2}{(\frac{(2k)!!}{(2k-1)!!})^2\frac{1}{2k+1}}<\frac{2k+1}{2k} \]

夹逼准则知，

\[\lim_{k\to \infty}\frac{\pi/2}{(\frac{(2k)!!}{(2k-1)!!})^2\frac{1}{2k+1}}=1 \]

\[\lim_{n\to \infty}(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2} \]

\[\ln(n!)-\frac{\ln(n)}{2}=\frac{\ln1+\ln2}{2}+\frac{\ln2+\ln3}{2}+\dots+\frac{\ln(n-1)+\ln(n-2)}{2}\approx \int_1^n\ln xdx \]

可以证明误差收敛。于是：

\[\lim_{n\to\infty}\ln n!-\ln \sqrt{n}=n\ln n-n+c \]

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{n}}=(\frac{n}{e})^ne^c \]

改写华莱士公式为

\[\sqrt{\pi}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!}{\sqrt n(2n-1)!!} \]

\[=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!}{\sqrt n(2n-1)!!}=\frac{2^{2n-1}n!(n-1)!}{\sqrt n (2n-1)!} \]

\[=\frac{2^{2n-1}(n-1)!(\frac{n}{e})^ne^c}{(2n-1)!}=\frac{2^{2n-1}\sqrt{n-1}(\frac{n-1}{e})^{n-1}e^c(\frac{n}{e})^ne^c}{\sqrt{2n-1}(\frac{2n-1}{e})^{2n-1}e^c} \]

\[=\frac{e^c\sqrt{n-1}}{\sqrt{2n-1}}=\frac{e^c}{\sqrt2} \]

\[\therefore e^c=\sqrt{2\pi},\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{n}}=(\frac{n}{e})^n\sqrt{2\pi} \]

变形得到

\[\frac{n!}{n^n}\approx \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n} \]