Lucas 定理证明与扩展

Lucas 定理及其证明、扩展

\[\binom{n}{m}\equiv\binom{n/p}{m/p}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\pmod p,\text{where}\ p\in prime\\ \text{Proof}:\\ (1+x)^p\equiv 1+x^p\pmod{p}\\ n=ap+c,c<p\\ H=\sum_{i\ge 0}\binom{n}{i}x^i=(1+x)^n\\ F=\sum_{i\ge 0}\binom{a}{i}x^{pi}=(1+x^p)^a,G=\sum_{i\ge 0}\binom{c}{i}x^i=(1+x)^c\\ FG=\sum_{i\ge 0}\binom{a}{i}\binom{c}{t}x^{pi+t}=(1+x)^{pa+c}=(1+x)^n=\sum_{i\ge 0}\binom{n}{i}x^i\\ \text{where}\ t<p.\\ \therefore [x^m]FG=[x^m]H \binom{n}{m}\equiv\binom{n/p}{m/p}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\pmod p\\ \text{QED}. \]

这个定理可以被拓展为 \(\bmod p^\alpha\) 的情况。

\[x=V_p(n),y=V_p(m),z=V_p(n-m)\\ \binom{n}{m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}=\frac{\frac{n!}{p^x}}{\frac{(n-m)!m!}{p^{y+z}}}p^{x-y-z}\\ n!=(P\times 2P\times 3P\times \dots\times \lfloor\frac{n}{P}\rfloor)\prod_{i\bmod p\neq 0}i\\ m=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\\ \therefore\frac{n!}{p^{V_p(n)}}=\frac{m!}{p^{V_p(m!)}}\left(\prod_{i,(i,p)=1}^ni\right)\\ \left(\prod_{i,(i,p)=1}^ni\right)\equiv\left(\prod_{i,(i,p)=1}^{p^{\alpha}}i\right)^m\left(\prod_{i,(i,p)=1}^{n\bmod p^{\alpha}}i\right)\pmod {p^{\alpha}} \]

两项均可直接得到。时间复杂度：

\[T(n)=T(n/p)+O(p^{\alpha})=O(p^{\alpha}\log_pn) \]

对于任意 \(p\)，使用中国剩余定理合并即可。