为什么全序集降位和和逆序对在同一长度的排列的分布相同？

引入

在 q-analog 中，我们知道：

\[\sum_{p\in S}q^{\operatorname{maj}(p)}=\sum_{p\in S}q^{\tau(p)}=\binom{\sum a_i}{a_1,a_2,\dots,a_n}_q \]

其中 \(S\) 是 \(a_i\) 个 \(i\) 元素（对于所有 \(i\)）构成的排列集合。

\[\operatorname{maj}(p)=\sum_{i<\sum a_i}i[p_i>p_{i+1}] \]

为什么前一个等号成立？

问题和约定

假设 \(X\) 为一全序可重集（显然整数满足这个条件），只需证明：

\[\{\tau(p)\mid p\in X^n\}=\{\operatorname{maj}(p)\mid p\in X^n\} \]

转化为构造一双射函数 \(\Phi_n\mapsto X^n\to X^n\)。

下面做若干符号的约定。

设 \(f=x_1x_2\dots x_n\) 是一 \(X\) 的字。

定义 \(L_xf=\{w\mid w\in f\le x\},R_xf=\{w\mid w\in f> x\}\)，明确时略去 \(f\)。

\(l_xf=|L_xf|,r_xf=|R_xf|\)，\(\operatorname{len}(f)=n\)。

\(S(f)=\tau(f),T(f)=\operatorname{maj}(f)\)。

对于，两字母表 \(X,Y\)，定义 \(XY=\{xy\mid x\in X,y\in Y\}\)。

\(f^{\pi}\) 为一一元运算， \(f^{\pi}=x_nx_1x_2\dots x_{n-1}\)。

若 \(\forall x\in X,l_xf_1=l_xf_2\)，那么记为 \(\alpha(f_1)=\alpha(f_2)\)。注意此时也有 \(r_xf_1=r_xf_2\)。

证明

显然，对于任意\(x\in X\)，\(\{X^*L_x,X^*R_x\}\) 是对 \(X^*X\) 的划分。

设 \(f=x_1x_2\dots x_n\) 是任一 \(X\) 的长度为 \(n\) 的字 。

若 \(f\in X^*L_x\)，定义序列 \([r_1,r_2,\dots,r_s]\) 为 \(f\) 中所有属于 \(L_x\) 的下标的升序序列。

否则（\(f\in X^*R_x\)），定义序列 \([r_1,r_2,\dots,r_s]\) 为 \(f\) 中所有属于 \(R_x\) 的下标的升序序列。

特殊地，\(r_0=0,r_{s+1}=n+1\)。

分解 \(f\) 为 \(f_1f_2\dots f_s\)，其中 \(f_p=x[r_{p-1}+1:r_p]\)。显然，这样的分解是唯一的。

对于 \(f\in X^*L_x\)，显然有 \(f_p\in R_x^*L_x\)，否则 \(f_p\in L_x^*R_x\)。

定义 \(\gamma_x\mapsto X^*\to X^*(x\in X)\) ，构造方式为：

\[\gamma_x(f)=f_1^{\pi}f_2^{\pi}\dots f_n^{\pi} \]

下面证明 \(\gamma_x\) 是双射：

考虑 \(f\) 到 \(\gamma_x(f)\)，由于分解唯一，不同的分解每一项做一下 \(f^\pi\) 过来也不同，所以不同的 \(f\) 对应 \(\gamma_x(f)\) 不同。

显然 \(\{L_xX^*,R_xX^*\}\) 也是对 \(X^*X\) 的划分。

同样像上面定义分解，只不过 \(f_p=x[r_p:r_{p+1}-1]\)。这样的分解显然也是唯一的。

由于 \(f_p\in L_xX^*\)（\(f_p\in R_xX^*\)），\(f_p^{\pi}\in X^*L_x\)（\(f_p^{\pi}\in X^*R_x\)），所以 \(\gamma_x(f)\) 到 \(f\) 可以看作以这样的方式分解再做 \(f^{\pi}\)，显然也是不同的。所以不同的 \(\gamma_x(f)\) 对应不同的 \(f\)。

由于 \(\gamma_x\) 不过是打乱了 \(f\) 的顺序，显然 \(\alpha(\gamma_x(f))=\alpha(f)\)。

接下来我们考察逆序对、降位和的若干性质。

下面 \(f\in X^*,x\in X\)。

Lemma 1：\(S(fx)=S(f)+r_xf\)。

由逆序对定义，显然；

Lemma 2：\(S(\gamma_x(f))=S(f)-r_xf\ (\text{if }f\in X^*L_x)\)

考虑分解成若干 \(f_p\) 块，块间贡献不变，块内的 \(R_x^*L_x\) 变成了 \(L_xR_x^*\)，\(R_x^*\) 内部的逆序对不改变，只有 \(L_x\) 和 \(R_x^*\) 之间的逆序对改变了。由于其偏序关系，减少了 \(r_x\) 个逆序对。减少的总逆序对是 \(\sum r_x f_p=r_xf\)。

Lemma 3：\(S(\gamma_x(f))=S(f)+l_xf\ (\text{if }f\in X^*R_x)\)

同理。

Lemma 4：\(T(fx)=T(f)\ (\text{if }f\in X^*L_x)\)

显然，不会增加任何降位。

Lemma 5：\(T(fx)=T(f)+\operatorname{len}(f)\ (\text{if }f\in X^*R_x)\)

增加了最后一个位置，下标是 \(\operatorname{len}(f)\)。

下面我们构造我们希望得到的双射函数 \(\Phi(f)\mapsto X^*\to X^*\)。

把 \(\Phi(f)\) 记为 \(\Phi_n(f)\)，其中 \(\operatorname{len}(f)=n\)。

我们希望它满足这样的性质：：

1. \(\Phi\) 是双射。
2. \(\alpha(\Phi(f))=\alpha(f)\)。
3. \(S(\Phi(f))=T(f)\)。

如此可满足要求。

给出其构造方式：

\(\Phi(f)=f\ (\text{if }\operatorname{len}(f)=1)\)

\(\Phi(fx)=\gamma_x(\Phi(f))x\ (\text{otherwise})\)

下面证明其满足这些性质。

归纳法，假设 \(\Phi_n\) 满足。\(n=1\) 时显然满足。

由于双射函数的复合是双射， \(\gamma_x(\Phi_n(f))\) 是双射，且 \(\alpha(\gamma_x(\Phi_n(f)))=\alpha(f)\)。

因此 \(fx\to \Phi_{n+1}(fx)=\gamma_x(\Phi(f))x\) 是双射，即证明了 \(\Phi_{n+1}(f)\) 是双射。

由于 \(\Phi_{n}\) 只不过是打乱了顺序，所以 \(\Phi_{n+1}\) 只不过是打乱了顺序，所以 \(\alpha(\Phi_{n+1}(f))=\alpha(f)\)。

下面证明最后一条要求。

若 \(f\in X^*L_x\)，则依构造得到 \(\Phi_{n+1}(f)\in X^*L_x\)，有：

\[S(\Phi_{n+1}(fx))=\\ =S(\gamma_x(\Phi_n(f)))+r_x\gamma_x(\Phi_n(f))\\ =S(\Phi_n(f))-r_x\Phi_n(f)+r_xf\\ =S(\Phi_n(f))=T(f) \]

否则，\(f\in X^*R_x\)。

\[S(\Phi_{n+1}(fx))\\ =S(\gamma_x(\Phi_n(f)))+r_xf(\texttt{mentioned above})\\ =S(\Phi_n(f))+l_x(\Phi_n(f))+r_xf\\\ =S(\Phi_n(f))+l_xf+r_xf=S(\Phi_n(f))+\operatorname{len}(f)\\ =T(f) \]

每一个 \(n\) 都满足。这样，我们找到了逆序对和降位和的双射。

完 全 胜 利

附注：这个结论只对于 \(\{f\}=X^k\) 起用。