闲话 7.6

需要对若干序列按权值排序，序列 \(\lang a\rang\) 由 \(2,3\) 构成，权值是

\[w(\lang a\rang)=a_1^{a_2^{a_3...}} \]

引理 \(1\)：当 \(k\ge 4\) 时满足

\[\forall i,w(\langle\underbrace{2,2,2,\dots 2}_{i \text{个}} ,kx \rangle)>w(\langle\underbrace{3,3,3,\dots 3}_{i \text{个}} ,x \rangle) \]

证明容易。

推论：长度差大于 \(1\) 的序列直接可以按长度比较大小。

引理 \(2\)：

\[\forall u\neq v\in \{w(\lang a_1,a_2,a_3,a_4\rang)\mid a_i\in \{2,3\}\}\\ \frac uv\not\in [\frac 14,4]\]

• This is proved by C++。

因此，有定理：

以下的比较方法是正确的：

• 先判掉长度差大于 \(1\) 的序列。

• 对于长度差等于 \(1\) 的序列，把长的序列最后两个数取幂合并，比较后四个数的幂塔大小即可。

• 对于长度相等的序列，找出最长公共后缀，如果长度大于 \(1\) 就直接比较最后一个不同的位置，否则比较不同的后四个位置（带上公共后缀）的幂塔。

直接快速排序+SA 就是 \(O(n\log n)\) 的。注意到长度相等的序列在快排中暴力找最长公共后缀的复杂度正确，不需要使用后缀数组 🤡

后记：

能否证明：

1.对于任意长度的序列引理 \(2\) 成立。

2.对于任意的（什么样的）两个数才有 1. 成立？