闲话 6.3

对于随机游走期望长度的一个证明：一维随机游走（一次一格）走 \(n\) 步最后的期望结果是 \(O(\sqrt n)\) 的。

部分参考 zcr-blog。

快进（中间是一个经典的推导，使用二项式定理）：

\[\frac{\displaystyle\sum _{k=0}^{n}\binom nk|2k-n|}{2^n}\le \frac{\displaystyle\sum _{k=0}^{n}\binom nk|2k-n|}{2n\binom{n-1}{n/2}}\le \frac{n\displaystyle\binom{n-1}{n/2}}{2^{n-1}} \]

只需要证明：

\[\binom{2n}{n+k}+\binom{2n}{n-k}=2\binom{2n}{n+k}\ge \binom{2n}{n},\text{for } k\le \sqrt n \]

化一下式子，只需证明：

\[\prod_{i\le \sqrt n}\frac{n^2}{n^2-i^2}\le 2 \]

放缩一下：

\[\prod_{i\le \sqrt n}\frac{n^2}{n^2-i^2}\le \prod_{i\le n}\frac{n^2}{n^2-i} \]

考虑

\[\frac{n^2}{n^2-k}\times \frac{n^2}{n^2-(n-k)} \]

当 \(k=0\) 时其取 \(\max\)。那么

\[\prod_{i\le n}\frac{n^2}{n^2-i}\le \left(\frac{n^2}{n^2-n}\right)^{\frac n2}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{\frac n2}=\sqrt {\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}}\le 2\text{,for }n\ge 2 \]