闲话 6.3

对于随机游走期望长度的一个证明：一维随机游走（一次一格）走 $n$ 步最后的期望结果是 $O(\sqrt n)$ 的。

部分参考 zcr-blog。

快进（中间是一个经典的推导，使用二项式定理）：

$$\frac{\displaystyle\sum _{k=0}^{n}\binom nk|2k-n|}{2^n}\le \frac{\displaystyle\sum _{k=0}^{n}\binom nk|2k-n|}{2n\binom{n-1}{n/2}}\le \frac{n\displaystyle\binom{n-1}{n/2}}{2^{n-1}}$$

只需要证明：

$$\binom{2n}{n+k}+\binom{2n}{n-k}=2\binom{2n}{n+k}\ge \binom{2n}{n},\text{for } k\le \sqrt n$$

化一下式子，只需证明：

$$\prod_{i\le \sqrt n}\frac{n^2}{n^2-i^2}\le 2$$

放缩一下：

$$\prod_{i\le \sqrt n}\frac{n^2}{n^2-i^2}\le \prod_{i\le n}\frac{n^2}{n^2-i}$$

考虑

$$\frac{n^2}{n^2-k}\times \frac{n^2}{n^2-(n-k)}$$

当 $k=0$ 时其取 $\max$。那么

$$\prod_{i\le n}\frac{n^2}{n^2-i}\le \left(\frac{n^2}{n^2-n}\right)^{\frac n2}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{\frac n2}=\sqrt {\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}}\le 2\text{,for }n\ge 2$$