闲话 4.8

1.不规范地，

\[\forall a,b\in \Z,\frac{(b-1)!}{(a-1)!}(-1)^{a+b}=\frac{(-a)!}{(-b)!} \]

2.NIT：

\[2^n\prod_{i=1}^n (2i-1)=(2n)^{\underline n} \]

此式除了拆开利用加倍公式外，还有证明：定义 \(f(x)=x2^{-V_2(x)}\)，\(f\) 是右式乘积项到左式乘积项的双射。因为 \(f(x)\) 应当两两不等，并且值域大小等于 \(n\)。

只需证明：\(V_p((2n)^{\underline n})=n\)：根据库摩尔定理或者勒让德定理均可导出。