蚁群算法及 TSP 问题上的应用

群智能（Swarm intelligence）#

自然界动物群，称之为群。

群的特征：

• 相互作用的相邻个体的集合
• 个体的行为简单，既有竞争又有协作
• 智能化的集体行为（1+1>2）：
  • 个体间不仅能够交互信息，还能够处理信息，根据信息改变自身行为
  • 没有一个集中控制中心，分布式、自组织
  • 作为群体协同工作时，展现出非常复杂的行为特征——智能

任何一种由昆虫群体或其他动物社会行为机制而激发设计出的算法或分布式解决问题的策略都属于群智能算法

典型算法：

• 粒子群 PSO
• 蚁群 ACO
• 人工鱼群 AFSA
• 人工蜂群 ABCA

算法原理：蚁群觅食#

模拟自然界蚁群觅食（从巢穴到食物的最佳路径的行为）的过程。

• 自然界中，蚂蚁会在觅食路上留下”信息素“来作为前往食物所在地的标记。
• 信息素会逐渐挥发，蚂蚁倾向于沿着”信息素“浓度更高的路径前往食物所在地。
• 信息素浓度更高的路径上蚂蚁会更多
• 最后，几乎所有蚂蚁会选择更短的路径

算法步骤#

TSP 问题示例#

路径构建/构造解空间#

对每只蚂蚁选择下一个城市，直到遍历所有的城市

蚂蚁 $k$ 从城市 $i$ 到城市 $j$ 的概率为：

$$p_{ij}^k = \begin{cases} \frac{\tau_{ij}^\alpha (t)* \eta_{ij}^\beta}{\sum_{s \in \phi_k} \tau_{is}^\alpha (t)* \eta^{\beta}_{is}},& j \in \phi_k \\ 0,& otherwise \end{cases}$$

• $i, j$ 分别为起点和终点
• $\eta_{ij} = 1 / d_{ij}$ 为能见度，是两点 $i, j$ 距离的倒数
• $\tau_{ij}(t)$ 为时间 $t$ 时由 $i$ 到 $j$ 的信息素强度
• $\phi_k$ 为尚未访问过的节点集合
  • 这个尚未访问过的节点集合是什么意思？每只蚂蚁需要存储自己去过哪些城市，直到它走过了所有城市。
• $\alpha, \beta$ 为两个常数，分别是信息素和能见度的加权值。

更新信息素浓度#

更新各城市间信息素浓度#

• 更新各城市间信息素浓度
• $t+1$ 次循环，城市 $i, j$ 之间的信息素浓度为：$\tau_{ij}(t+1) = \tau_{ij}(t) * (1- \rho) + \Delta \tau_{ij}(t), 0 < \rho < 1 \\ \Delta \tau_{ij}(t) = \sum_{k=1}^m \Delta \tau_{ij}^k(t)$
• $\Delta \tau_{ij}^k(t)$ 为 t 次循环，蚂蚁 k 在 $(i,j)$ 路径上留下的信息素
• $\Delta \tau_{ij}(t)$ 为 t 次循环，$(i,j)$ 路径上新增的信息素
• $\rho$ 为信息素挥发常数

计算新增信息素浓度#

• 蚁密模型（Ant-Density）：$\Delta \tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} Q,& if (i, j) \in \psi_k(t) \\ 0,& otherwise \end{cases}$
• 蚁量模型（Ant-Quantity）：$\Delta \tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \frac{Q}{d_{ij}},& if (i, j) \in \psi_k(t) \\ 0,& otherwise \end{cases}$
• 蚁周模型（Ant-Cycle）：$\Delta \tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \frac{Q}{L_k(t)},& if (i, j) \in \psi_k(t) \\ 0,& otherwise \end{cases}$
• Q 是信息素常量
• $L_k(t)$ 是第 $t$ 次循环，蚂蚁 $k$ 遍历所有城市的总路径长度
• $\psi_k(t)$ 是第 $t$ 次循环，蚂蚁 $k$ 遍历所有城市的路径集合

这里一般常用的是蚁周模型，这个式子有点奇怪，为什么所有经过的路都是平分信息素的？

参数分析#

蚂蚁数量 $m$#

1. 过大：收敛速度减慢
2. 过小：搜索范围减小，易过早收敛，陷入局部最优
3. 参考值：目标图的节点数量的 1.5 倍

信息素常量 $Q$#

1. 过大：搜索范围减小，易过早收敛，陷入局部最优
2. 过小：每条路径上信息含量差别较小，容易陷入混沌状态
3. 参考值：$[0, 1000]$

最大迭代次数#

1. 过大：运算速度过长
2. 过小：可选路径较少，易陷入局部最优
3. 参考值：$[0,500]$

信息素因子 $\alpha$#

1. 过大：蚂蚁选择以前已经走过的路可能性加大，容易使随机搜索性减弱
2. 过小：蚁群易陷入纯粹的随机搜索，使种群陷入局部最优
3. 参考值：$[1, 4]$
   • 为了使它是蚁群算法，因此参考值最小值是 $1$ 而不是 $0$。

启发函数因子 $\beta$#

1. 过大：选择局部最短路径的可能性较大，
2. 过小：蚁群易陷入纯粹的随即搜索，很难找到最优解
3. 参考值：$[0,5]$

信息素挥发因子 $\rho$#

1. 过大：信息素挥发过快，容易导致较优路径被排除，降低算法收敛速度
2. 过小：以前搜索过的路径被再次选择的可能性较大，易降低算法随机性和全局搜索能力
3. 参考值：$[0.2,0.5]$

总结#

调参的目的是在寻优和随机上找个平衡。

需要一个离群者寻找最短路径。

由于不清楚公式中值域是多少，因此这个算法事实上调参后会导致某一部分做幂次后增大/减小的不明确。