二维与三维坐标变换
二维几何变换
齐次坐标
- 齐次坐标就是用n+1维矢量表示n维矢量，\(p(x,y)\)的齐次坐标表示为\((wx,wy,w)=(X,Y,w)\)。
- 二维规范化齐次坐标：\(w=1\)时，\(p(x,y,1)\)
- 类似三维规范化齐次坐标为\((x,y,z,1)\)
- 齐次坐标的目的：避免了平移变换使用矩阵加法运算，是为了规范化编程。
平移变换
\[ \left [\begin{matrix}
x^` \\
y^` \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
x+T_x \\
y+T_y \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
1 & 0 & T_x \\
0 & 1 & T_y \\
0 & 0 &1
\end{matrix}\right ]
\left [\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right ]
\]
比例变换
\[ \left [\begin{matrix}
x^` \\
y^` \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
xS_x \\
yS_y \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
S_x & 0 & 0 \\
0 & S_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right ]
\left [\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right ]
\]
旋转变换（相对坐标原点的旋转，后续不特别说明，都是相对坐标原点的）
\[ \left [\begin{matrix}
x^` \\
y^` \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
xcos\beta-ysin\beta \\
xsin\beta+ycos\beta \\
1
\end{matrix}\right ]=
\left [\begin{matrix}
cos\beta & -sin\beta &0 \\
sin\beta & cos\beta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right ]
\left [\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right ]
\]
三维变换
三维变换矩阵
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
a & b & c & l \\
d & e & f & m \\
g & h & i & n \\
p & q & r & s
\end{matrix} \right]
\]
其中：
- 比例、旋转、反射、错切变换：
\[ T_1=
\left[\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right]
\]
- 比例变换
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
S_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & S_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & S_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
- 旋转变换
\[R_{xyz}(\beta ,\alpha ,\gamma)=R_x(\beta )R_y(\alpha )R_z(\gamma)
\]
绕x轴旋转变换
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\beta & -sin\beta & 0 \\
0 & sin\beta & cos\beta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
绕y轴旋转变换
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
绕z轴旋转变换
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
cos\gamma & -sin\gamma & 0 & 0 \\
sin\gamma & cos\gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
- 旋转变换的性质：（1）旋转变换矩阵是正交矩阵 \(R^T_\theta =R^{-1}_\theta\)；（2）\(R_{- \theta}=R^{-1}_\theta\)
- 反射变换
\[\]
关于x轴的反射
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
关于y轴的反射
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
关于z轴的反射
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
- 错切变换
\[\]
沿x方向错切
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & b & c & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
沿y方向错切
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
d & 1 & f & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
沿z方向错切
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
g & h & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
- 平移变换：
\[ T_2=
\left[\begin{matrix}
l \\
m \\
n
\end{matrix}\right]
\]
\[ T=
\left [ \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & T_x\\
0 & 1 & 0 & T_y \\
0 & 0 & 1 & T_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix} \right]
\]
- 投影变换：
\[ T_3=
\left[\begin{matrix}
p & q & r
\end{matrix}\right]
\]
二维三维变换注意点
-
复杂的变换可以由简单变换组合得到
-
变换的顺序很重要，因为矩阵乘法不支持交换律，比如先旋转再平移与先平移再旋转的结果往往是不同的(变换顺序，从右向左看)。
\[先旋转R，再平移T
\]
\[\left[\begin{matrix}
x^, \\
y^, \\
z^, \\
1
\end{matrix}\right]
=TR
\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{matrix}\right]
\]
\[先平移T,再旋转R
\]
\[\left[\begin{matrix}
x^, \\
y^, \\
z^, \\
1
\end{matrix}\right]
=RT
\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
z \\
1
\end{matrix}\right]
\]
- 对于如下变换，是先做线性变换，再平移
\[T=\left[\begin{matrix}
a & b & c & t_x \\
d & e & f & t_y \\
g & h & i & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\]
- 相对特定点\(C\)的旋转：先整体平移到坐标原点，再旋转变换，最后再整体移动到原坐标点
\[T(C)R(\alpha )T(-C)
\]
