多项分布

多项分布定义

某随机实验如果有\(k\)个可能结局\(A_1, A_2, \cdots,A_k\)，分别将他们的出现次数记为随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_k\)，它们的概率分布分别是\(p_1,p_2,\cdots,p_k\)，那么在\(n\)次采样的总结果中，\(A_1\)出现\(n_1\)次、\(A_2\)出现\(n_2\)次、…、\(A_k\)出现\(n_k\)次的这种事件的出现概率\(P\)有下面公式:

\(k\)个可能的结果	\(A_1\)	\(A_2\)	\(\cdots\)	\(A_k\)
每个结果出现的次数	\(X_1\)	\(X_2\)	\(\cdots\)	\(X_k\)
每个结果可能的概率	\(p_1\)	\(p_2\)	\(\cdots\)	\(p_k\)
采样\(n\)次
	\(n_1\)	\(n_2\)	\(\cdots\)	\(n_k\)	\(\sum_{i=1}^n n_i = n\)
	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_k\)	\(\sum_{i=1}^n x_i = n\)

\[\bm{P}(X_1=n_1,X_2=n_2,\cdots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \]

参考

1. 多项分布