圆与椭圆

一个单位圆的方程是 X² + Y² = 1，画在坐标系中：

对于圆来说，由于它是高度对称的，旋转属性对它而言意义不大。

在 canvas 画布上绘制一个圆很简单，有两种方法：

1. 使用 html5 中提供的 drawArc API

2. 我们也可以用公式 X² + Y² = 1，将 X 从 -1 到 1 中每个微元 dx 对应的纵坐标一个个算出来，然后再将这些点连接起来，只要切割的足够细，那么绘制出来的图形就越接近圆。

只是需要注意的是对于 1 个 x，可能有两个 Y 值与之对应。

3. 我们也可以换一种坐标方程，使用极坐标来表示单位圆，x = cos(θ), y = sin(θ)。θ 在 [0, 2π) 区间内，对于每一个 θ，有唯一的 x, y。

如果不使用 html5 中的 api，绘图的时候选择极坐标方程进行取点会方便很多。

先定义一个方法 drawWithLine：

 1 function drawWithLine( v ) {
 2     ctx.beginPath();
 3     
 4     ctx.moveTo( v[0], v[1] );
 5     for( let i = 1; i <= v.numItems; i++ ) {
 6         ctx.lineTo( v[ i * 2 ], v[ i * 2 + 1 ] );
 7     }
 8     ctx.stroke();
 9     
10     ctx.closePath();
11 }

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然后计算出圆上的各点（注意点的顺序）

 1 // calcVertex() {
 2     let seg = this.seg;
 3     let r   = this.r;
 4     let ox, oy;
 5     
 6     let vertex = [];
 7     vertex.itemSize = 2;
 8 
 9     for( let i = 0; i <= seg; i++ ) {
10         ox = Math.cos( 2 * Math.PI * i / seg ) * r;
11         oy = Math.sin( 2 * Math.PI * i / seg ) * r;
12         vertex.push( ox, oy );
13     }
14 
15     vertex.numItems = vertex.length / vertex.itemSize;
16     this.vertex = vertex;
17     return this;
18 // }

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将计算出来的点传入 drawWithLine 函数中，就能得到上述图形。

那么如果我们想要绘制椭圆呢，对于一个方程为 X² + XY + Y² = 1 的椭圆，我想到的方法是将 Y 表示成 X 的函数，根据 X 的可能取值逐个计算对应的 Y 值，

但是由于 Y 的最高次为 2 次，计算出的 Y 值可能是正值或负值，必须将这两种符号的值分开绘制，否则使用 drawWithLine 方法绘制的椭圆会很奇怪，计算椭圆的顶点：

 1 // testOval() {
 2     const radius = 10000;
 3     const xMax = Math.sqrt( 4 / 3 * radius );
 4     const xMin = - xMax;
 5     const seg = 100;
 6     const segLength = xMax * 2 / seg;
 7     let x, y;
 8     let vertex = [];
 9     vertex.itemSize = 2;
10     for( let i = 0; i <= seg; i++ ) {
11         x = xMin + segLength * i;
12         y = Math.sqrt( radius - 0.75 * x * x ) - 0.5 * x;
13         vertex.push( x, y );
14     }
15     for( let i = 0; i <= seg; i++ ) {
16         x = xMax - segLength * i;
17         y = - Math.sqrt( radius - 0.75 * x * x ) - 0.5 * x;
18         vertex.push( x, y );
19     }
20     vertex.numItems = vertex.length / vertex.itemSize;
21     this._testVertex = vertex;
22 // }