公交车情况数问题

公交车问题

问题描述

一条线路上有 n 个公交车站，假设在到达第 i 个站点之前，车上总共有 x 个乘客，过了该站点后车上总共有 y 个乘客，
司机会把 y-x 这个数字，即乘客数量变化值 d_i 记录下来，公交车有固定的载客量 g，若有一份司机的开车日志，车上乘客数量的可能情况有多少种

输入输出

输入： 第一行有两个数字 n 和 g，分别表示站点数量及当前撤了的最大载客数量（1 <= n,g <= 1000）

第二行共 n 个数字，由空格分开，经过第 i 个公交车站后车上乘客的变化数量 d_i (-1000 <= d_i <= 1000)

输入数据保证从总站出发时乘客数量大于等于 0

输出：输出一个数字，即司机从总站出发时，车上乘客数量的可能性个数。

样例

// 样例输入一：
4 10
1 2 3 4
// 样例输出一：
1

// 样例输入二：
4 5
2 -1 2 1
// 样例输出二：
2

问题分析

绘出示意图

按照题中信息，可以画出如下的示意图：

其中蓝色方框表示各个站点， di 即是第 i 站点的乘客数量变化，Pi 是经过第 i 个站点后车上的乘客数量。
可以得到等式：

• P_i - P_i-1 = d_i ，其中 0 < i <= n

数学推导

由于公交车的载客量为 g，那么对于每个 Pi 而言，都会存在默认的约束条件 0 < Pi < g。

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简单情况：

考虑等式：P1 - P0 = d1:

对于减数 P0 而言，它的取值范围在

• [P_1min-d₁, P_1max-d₁]，

由默认的约束条件得到取值范围：

• [0, g-d₁]，

实际上这个范围成立的条件是 d₁ >= 0，而实际上 d₁ 可以取负值，所以 P₀ 的取值范围应该修正为

• [max(0, -d₁), min(g-d₁, g)];

对于被减数 P₁ 而言，同样可以得到其取值范围在

• [max[0, d₁], min(g+d₁, g)]`。

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推广到一般情况：

对于所有作为减数的 P_j (0 <= j < n)，它的取值范围是

• [max(0, -d_j+1), min(g-d_j+1, g)]；

而对于所有作为被减数的 P_k (0 < k <= n)，它的取值范围是

• [max(0, d_k), min(g+d_k, g)]。

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Pi-1 取最大范围 [0, g]

在第 1 站到终点站之间的 P_i，即可以与 P_i-1 关联的等式中作为被减数，又可以与 P_i+1 关联的等式作为减数，因此是可以得到两个取值范围的，取其交集，得 P_i (0 < i < n)的范围是

• [max(0, -d_i+1, d_i), min(g, g-d_i+1,, g+d_i)];

特殊的如 P₀ 范围：[max(0, -d₁), min(g-d₁, g)]； 或 P_n 范围：[max(0, d_n), min(g+d_n, g)]。

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从 P0 的范围开始迭代计算

然而以上利用 P_i-P_i-1=d_i 对 P_i 范围进行的推导是建立在把 P_i-1 的取值范围当作静态的 [0, g] 而得出的 P_i 范围，实际上 P_i-1 的范围可能比静态的 [0, g] 要小。

若已经求得 P_i-1 的范围是 [R1, R2] （0 <= R1 <= R2 <= g），那么作为被减数的 P_i 的取值范围应为：

• [R1+d_i, R2+d_i]

与上面得到的 P_i 的取值范围取交集，得到：

• [max(0, R1+d_i, -d_i+1), min(g, R2+d_i, g-d_i+1)]

由于 P₀ 的范围是确定的 [max(0, -d1), min(g-d1, g)]，因此通过上式可以递归算出 P_i 的取值范围。

结果推导

通过数学分析推导，若得出 Pi 的范围为 [R_iMin, R_iMax]，那么第 i 个站点后的人数可能情况就为

R_iMax - R_iMin + 1

取这些情况中值最小的那个，就是公交车经过整条路线时的人数变化的可能情况，也就是从总站出发时的人数可能情况。

主要代码

推导出数学公式后，编写代码就非常容易了。主要代码如下：

int tmpMax = carSize, tmpMin = 0;

// 算出 P0 的最小最大值
person[0*2] = getMax(0, -diff[0]);
person[0*2+1] = getMin(carSize, carSize - diff[0]);

// 迭代算出 P1 - Pn-1 的最小最大值
for(int i = 1; i < station; i++) {
    tmpMin = person[(i-1)*2];
    tmpMax = person[(i-1)*2+1];
    person[i*2]   = getMax( 0, tmpMin + diff[i-1], -diff[i] );
    person[i*2+1] = getMin( carSize, tmpMax + diff[i-1], carSize - diff[i] );
}

// 算出 Pn 的最小最大值
tmpMin = person[(station-1)*2];
tmpMax = person[(station-1)*2+1];
person[station*2]   = tmpMin + diff[station-1];
person[station*2+1] = tmpMax + diff[station-1];

这段代码用到的最大最小值的求值公式就是由上述数学推导而来。

其它的解法

上述数学推导用到的方法是迭代求取范围，最开始思考这个题的时候的思路是假设 P_i-1 都取最大范围 [0, g]，使用以下公式：

遍历所有可能去到的 k 和 j，利用 P_j 的范围求出 P_k 的范围，相应的代码虽然能够解出，但是并不好理解，执行效率比前面所说的迭代方法低。以下是之前版本代码的主要部分：

int tmp = 0, tmpMax = carSize, tmpMin = 0;
tmp = carSize - d_i[0];
if( tmp < carSize ) {
    person[1] = tmp;
}

for(int gap = 1; gap < station; gap++) {
    for(int i = gap; i < station + 1; i++) {
        tmpMax = person[(i-gap)*2+1] + personChanged(i-gap, i);
        tmpMin = person[(i-gap)*2]   + personChanged(i-gap, i);

        if( i < station) {
            // 最后一个计算的时候没有额外的约束条件了
            tmp = carSize - d_i[i];
            tmpMax = getMin(tmp, tmpMax);  // 取较小的（即取交集）
        }

        if( tmpMax < tmpMin ) {
            // 若上限小于下限，对应的不等式不成立,说明不存在这种情况
            cases = 0;
            return;
        }

        tmpMax = getMin(tmpMax, carSize);
        person[i*2+1] = getMin(person[i*2+1], tmpMax);

        tmpMin = getMax(0, tmpMin);
        person[i*2] = getMax(person[i*2], tmpMin);
    }
}

总结

这个问题其实比较简答，思考的时候需要紧紧抓住 P_i 的定位，即它到底是作为减数还是被减数来求得范围的，否则就容易陷入思维误区，无法快速得到计算范围的公式。

改进的版本 和 原始的版本 都可以在 GitHub 上获得。