5.P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏题解2023-08-07

6.P5851 [USACO19DEC] Greedy Pie Eaters P题解2023-08-07 7.P9498 「RiOI-2」equals题解2023-08-07

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分析题目可知，这道题是一道求最值的问题，第一次看题没有认真读题，以为是每次只在某一行中选一个数，于是想了半天无果。重新读题才发现每次需要每行都取，那么这就很简单了，相当于在每一行中求一个最大取法，最后加起来即可，那么我们就想到了用dp来解决这个问题，我们每次可以取最前面或者最后面一个数，在这两种情况中取一个最大值，这样一直递归下去，最终就可以找到答案，可以得到dp[i][j] = max(dp[i-1][j]+base[m+i-j-1]*a[i-1]，dp[i][j+1]+base[m+i-j-1]*a[j+1])，其中base[i]代表2的i次方，a[i]代表当前取走的数，那么每行的最值怎么求呢？这就涉及到我们状态表示的问题了，我们dp[i][j]所表示的是当区间变为（i，j）时的最值，那么我们1枚举到m，dp[i][i]表示的状态就是取到最后一个数是i时的最大值，我们再将这个值加上a[i]*base[m]就是最终答案了，推到这里，这个题只解决了思路上的问题，我们一看数据范围，好家伙最大值为2^80*1000，也就是大约10^27，这是要用高精啊，那就写吧，通过dalao的题解，我学到了一种很高级的高精写法——四位压缩，这个写法的核心就是将常规高精的数组单个值存一位变为了存四位，dalao用结构体的一系列操作简单的实现了高精，其中用到了重载运算符，还让我学到了结构体自动初始化的写法，orz，具体实现我都在代码里注释出来了，详见：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 85,Mod = 10000;
int n,m,a[N];
//本题采用的是压四位的高精度计算，具体方法参见https://blog.csdn.net/q873040807/article/details/50519731/ 
struct node{
    int p[505],len;
    node(){
        memset(p,0,sizeof(p));
        len = 0;
    }//这个函数可以实现自动初始化 
    void print(){//输出函数 
            printf("%d",p[len]);
            for(int i = len-1;i;i--){
                if(p[i] == 0){//压四位输出法，orz 
                    printf("0000");
                    continue;
                } 
                for(int k = 10;k * p[i] < Mod;k*=10){//判断每位是否为0，因为压四位，所以如果该位不为零，则乘以k后一定大于10000 
                    printf("0");
                }
                printf("%d",p[i]);//输出剩余值 
            }
    }
}; 
node dp[N][N],base[N],ans;

node operator + (const node &a,const node &b){
    node c;
    c.len = max(a.len,b.len);
    int x = 0;
    for (int i = 1;i <= c.len;i++) {
        c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;
        x = c.p[i] / Mod;
        c.p[i] %= Mod;//仍然是压四位储存 
    }
    if (x > 0) c.p[++c.len] = x;//剩余有值，则单独存储 
    return c;
}//高精加高精 

node operator * (const node &a,const int &b){
    node c;
    c.len = a.len;
    int x = 0;
    for(int i = 1;i <= c.len;i++){
        c.p[i] = a.p[i]*b + x;
        x = c.p[i] / Mod;
        c.p[i]%=Mod;//压四位 
    }
    while(x){
        c.p[++c.len] = x % Mod;
        x/=Mod;
    }
    return c;
}//高精乘低精 

node max(const node &a,const node &b){
    if(a.len > b.len) return a;
    if(b.len > a.len) return b;
    for(int i = a.len;i;i--){
        if(a.p[i]>b.p[i]){
            return a;
        }else if(b.p[i]>a.p[i]){
            return b;
        }
    }
    return a;
}//重载max函数 

void reeset(){
    base[0].p[1] = 1;
    base[0].len = 1;
    for(int i = 1;i <= m+2;i++){
        base[i] = base[i-1]*2; 
    }
}//初始化存储2的i次方 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    reeset();
    for(int k = 1;k <= n;k++){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1;i <= m;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = m;j >= i;j--){
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j]+base[m+i-j-1]*a[i-1]);
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j+1]+base[m+i-j-1]*a[j+1]);
            }
        }
        node maxx;
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            maxx = max(maxx,dp[i][i]+base[m]*a[i]);
        }
        ans = ans + maxx;
    }
    ans.print();
    return 0;
}