3 基本性质（3）连续依赖性、解的可微性、比较原理

连续依赖性

任何数学模型有效性的一个重要因素是其解对问题数据的连续依赖性。从数学模型中我们至少应该期望的是，数据中任意小的误差不会导致模型获得的解中的大误差。初值问题

\[\dot{x}=f(t,x), x(t_0)=x_0 \tag{1} \]

的数据是初始状态\(x_0\)、初始时间\(t_0\)和右侧的函数\(f(t,x)\)。因此，要使解对这三种数据连续依赖。

对初始时间的连续依赖性
从积分表达式

\[x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}{f(s,x(s))ds} \]

可以明显看出对初始时间\(t_0\)的连续依赖性。

对初始状态的连续依赖性
解对初始状态的连续依赖性，用\(\varepsilon -\delta\)语言描述为：
设\(y(t)\)是起始于\(y(t_0)=y_0\)，并定义在紧时间间隔\([t_0,t_1]\)上的方程(1)的解。如果给定\(\varepsilon >0\)，存在\(\delta >0\)，使得对于球\(\{x\in R^n|\|x-y_0\|<\delta \}\)中的所有\(z_0\)，方程\(\dot{x}=f(t,x),z(t_0)=z_0\)有定义在\([t_0,t_1]\)上的唯一解\(z(t)\)，且满足对所有\(t\in [t_0,t_1]\)，\(\|z(t)-y(t)\|<\varepsilon\)，则称解连续依赖于\(y_0\)。

定性的理解就是：如果从\(y_0\)附近点开始的解定义在同一时间间隔上且在该时间间隔内保持彼此接近，则解连续依赖于\(y_0\)。

对参数的连续依赖性
关于右侧的函数\(f\)的连续依赖有点复杂，就不说了吧。这里假设\(f\)连续依赖于一组常数参数；即\(f=f(t,x,\lambda)\)，其中\(\lambda \in R^p\)。常数参数可以表示系统的物理参数，对这些参数的扰动表示建模误差或由于老化导致的参数值的变化。
设\(x(t,\lambda_0)\)是\(\dot{x}=f(t,x,\lambda_0),x(t_0,\lambda_0)=x_0\)定义在\([t_0,t_1]\)上的解，如果对于任意\(\varepsilon >0\)，存在\(\delta >0\)，使得对于球\(\{\lambda \in R^p|\|\lambda -\lambda_0|<\delta \}\)中的所有\(\lambda\)，方程\(\dot{x}=f(t,x,\lambda),x(t_0,\lambda)=x_0\)有定义在\([t_0,t_1]\)上的唯一解\(x(t,\lambda)\)，且满足对所有\(t\in [t_0,t_1]\)，\(\|x(t,\lambda)-x(t,\lambda_0)\|<\varepsilon\)，则称解连续依赖于\(\lambda\)。

定理3.5给出解关于初始状态和参数的连续依赖性的判断方法：

解的可微性与灵敏度方程

如果\(f\)对于其参数是可微的，那么解对于这些参数是可微的。
由此推导出灵敏度方程，描述了小参数变化对解的影响。

比较原理

比较原理通过微分方程\(\dot{u}=f(t,u)\)的解，确定标量微分不等式\(\dot{v}\le f(t,v)\)的解的边界。

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/445356330