图解大顶堆的构建、排序过程
这两天在复习大顶堆和小顶堆，比起两年前的懵懵懂懂，这次理解起来就容易了一些。又翻看了一下自己之前的笔记数据结构与算法之PHP排序算法（堆排序），发现自己这次查阅资料，和之前的思路不太一样，遂写下这篇笔记，算是和以前的笔记做一个对照。
一、什么是堆
堆是一种非线性结构，可以把堆看作一棵二叉树，也可以看作一个数组，即：堆就是利用完全二叉树的结构来维护的一维数组。
堆可以分为大顶堆和小顶堆。
大顶堆：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值。
小顶堆：每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值。
如果是排序，求升序用大顶堆，求降序用小顶堆。
一般我们说 topK 问题，就可以用大顶堆或小顶堆来实现，
最大的 K 个：小顶堆
最小的 K 个：大顶堆
二、大顶堆的构建过程
大顶堆的构建过程就是从最后一个非叶子结点开始从下往上调整。
最后一个非叶子节点怎么找？这里我们用数组表示待排序序列，则最后一个非叶子结点的位置是：数组长度/2-1。假如数组长度为9，则最后一个非叶子结点位置是 9/2-1=3。
比较当前结点的值和左子树的值，如果当前节点小于左子树的值，就交换当前节点和左子树；
交换完后要检查左子树是否满足大顶堆的性质，不满足则重新调整子树结构；
再比较当前结点的值和右子树的值，如果当前节点小于右子树的值，就交换当前节点和右子树；
交换完后要检查右子树是否满足大顶堆的性质，不满足则重新调整子树结构；
无需交换调整的时候，则大顶堆构建完成。
画个图理解下，以 [3, 7, 16, 10, 21, 23] 为例：
代码如下：
<?php
/**
* 构建大顶堆
* 大顶堆的性质：每个结点的值都大于或等于其左右子结点的值。
*/
function buildBigHeap(&$arr, $len) {
for ($i = floor($len/2) - 1; $i >= 0; $i--) {
//根节点小于左子树
if (2 * $i + 1 < $len && $arr[$i] < $arr[2 * $i + 1]) {
//交换根节点和左子树的值
swap($arr, $i, 2 * $i + 1);
// $temp = $arr[$i];
// $arr[$i] = $arr[2 * $i + 1];
// $arr[2 * $i + 1] = $temp;
//检查左子树是否满足大顶堆的性质，如果不满足，则重新调整
if ((2 * (2 * $i + 1) + 1 < $len && $arr[2 * $i + 1] < $arr[2 * (2 * $i + 1) + 1])
|| (2 * (2 * $i + 1) + 2 < $len && $arr[2 * $i + 1] < $arr[2 * (2 * $i + 1) + 2])) {
buildBigHeap($arr, $len);
}
}
//根节点小于右子树
if (2 * $i + 2 < $len && $arr[$i] < $arr[2 * $i + 2]) {
//交换根节点和右子树的值
swap($arr, $i, 2 * $i + 2);
// $temp = $arr[$i];
// $arr[$i] = $arr[2 * $i + 2];
// $arr[2 * $i + 2] = $temp;
//检查右子树是否满足大顶堆的性质，如果不满足，则重新调整
if ((2 * (2 * $i + 2) + 1 < $len && $arr[2 * $i + 2] < $arr[2 * (2 * $i + 2) + 1])
|| (2 * (2 * $i + 2) + 2 < $len && $arr[2 * $i + 2] < $arr[2 * (2 * $i + 2) + 2])) {
buildBigHeap($arr, $len);
}
}
}
}
/**
* 交换两个值
* m n 为数组的下标
*/
function swap(&$arr, $m, $n) {
$temp = $arr[$m];
$arr[$m] = $arr[$n];
$arr[$n] = $temp;
}
三、大顶堆的排序过程
将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值，如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
是不是对上面这一大段文字很头疼？其实排序过程用下面 4 步就能概括：
第 1 步：先 n 个元素的无序序列，构建成大顶堆
第 2 步：将根节点与最后一个元素交换位置，（将最大元素"沉"到数组末端）
第 3 步：交换过后可能不再满足大顶堆的条件，所以需要将剩下的 n-1 个元素重新构建成大顶堆
第 4 步：重复第 2 步、第 3 步直到整个数组排序完成。
/**
* 交换交换根节点和数组末尾元素的值
*/
function adjustHeap(&$heap, $len) {
$temp = $heap[0];
$heap[0] = $heap[$len - 1];
$heap[$len - 1] = $temp;
}
/**
* 堆排序
*/
function heapSort(&$arr) {
$len = count($arr);
for ($i = $len; $i > 0; $i--) {
buildBigHeap($arr, $i);
adjustHeap($arr, $i);
}
}
