一种将排序值换算为得分值的方法

（转载请注明原创于潘多拉盒子)

如果我们获得了一组变量的顺序，如何估计这组变量的值呢？本文提供了一种简单的方法。

假定$n$个随机变量$\{X_k \sim U(0, 1)\}_{k=1}^{n}$是$(0,1)$上的均匀分布，且两两独立。对这$n$个随机变量从小到大排列，得到$\{X_{\pi(k)}\}_{k=1}^{n}$且$X_{\pi(1)}<X_{\pi(2)}<\cdots<X_{\pi(n)}$，这里忽略了任意两项相等时0测度的情形。

容易看出，$X_{\pi(k)}$服从Beta分布：$X_{\pi(k)}\sim Beta(k, n-k+1)$。我们有理由相信，用$y_k=E[X_{\pi(k)}]$作为第$k$个随机变量的得分值会是一个适当的值。这个值是$y_k=\frac{k}{n+1}$。