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不动点法,收敛速度,二次终止性

方程求根方法

0.不动点迭代法

f(x)=0

x=ϕ(x)

xf(x)=0,x=ϕ(x)xϕ(x)
f(x)ϕ(x),x0,,

x1=ϕ(x0)

x2=ϕ(x1)

...

xk+1=ϕ(xk)

注意

f(x)=0x=ϕ(x)ϕ(x)

f(x)=x3x1=0

x=x31

x=x+13

1.收敛速度

{xk}x,

limk||xk+1x||||xkx||=β

0<β<1{xk}线
β=0{xk}线
β=1{xk}线
线

p1,

limk||xk+1x||||xkx||p=β<+

{xk}p,p>1p线
p=2

2.二次终止性

Gn,

f(x)=12xTGx+rTx+δ



  • 1.
  • 2.Hesse2f(x)

f(x)=f(x)+f(x)T(xx)+12(xx)T2f(x)(xx)+o(||xx||2)

f(x),:,

3.一些算法的收敛性

  • ,
    定理
    xk+1=ϕ(xk)p,ϕ(p)(x)x

ϕ(x)=ϕ(x)=...=ϕ(p1)(x)

ϕ(p)(x)0

xp

f(x)f(xk)+f(xk)(xxk)

f(x)=0

f(xk)+f(xk)(xxk)=0

xk+1=xkf(x)f(xk),k=0,1,...

ϕ(x)=xf(x)f(x)

ϕ(x)=f(x)f(x)[f(x)]2

ϕ(x)=f(x)f(x)

f(x)=0,f(x)0,ϕ(x)=0,ϕ(x)0,

  • ,ϕ(x)x[a,b]ϕ(x)0,线

xk+1=ϕ(xk),k=0,1,...

pp+1

{yk=ϕ(xk),z=ϕ(yk),xk+1=xk(ykxk)2zk2yk+xk,k=0,1,...

  • p=1+521.618pλ2λ1=0
  • 线线=1.840λ3λ2λ1=0
posted @   筷点雪糕侠  阅读(1571)  评论(0编辑  收藏  举报
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