期望,方差,协方差,协方差矩阵
1.期望
定义
\[E(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k-离散型
\]
\[E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx-连续型
\]
性质
- \(E(C)=C,C是常数\)
- \(E(CX)=CE(X),C是常数\)
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
- \(若X,Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)\)
2.方差
定义
\[D(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2 p_k-离散型
\]
\[D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx
\]
性质
- \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)
- \(D(C)=0,C是常数\)
- \(D(CX)=C^2D(X),C是常数\)
- \(D(X+C)=D(X),C是常数\)
- \(两个随机变量有\)
\[D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X)(Y-E(Y))]
\]
- \(若两个随机变量独立，有\)
\[D(X+Y)=D(X)+D(Y)
\]
3.协方差
定义
\(两个随机变量X,Y的协方差\)
\[cov(X,Y)=E[(X-E(X)(Y-E(Y))]
\]
\(相关系数\)
\[\rho_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}
\]
性质
- \(cov(aX,bY)=ab\ cov(X,Y),a,b是常数\)
- \(cov(X_1+X_2,Y)=cov(X_1,Y)+cov(X_2,Y)\)
- \(独立一定不相关，不相关不一定独立\)
协方差矩阵
\(一定是对称，半正定的\)
