若尔当标准型和𝜆矩阵

1.\(\lambda矩阵,多项式矩阵\)

\(带参数的多项式矩阵又叫\lambda矩阵\)
\(A=\begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & ... & a_{1n}(\lambda)\\ ...\\ ...\\ a_{n1}(\lambda) & a_{n2}(\lambda) & ... & a_{nn}(\lambda) \end{pmatrix}\)

\(特征矩阵\lambda I -A是特殊的\lambda矩阵\)

\(\lambda\)矩阵的秩

\(至少有一个r阶子式不是零多项式,则r为A的秩\)
\(特征矩阵\lambda I -A =\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+...+c_n,肯定不是零多项式，所以特征矩阵是满秩的(注意，这不代表A是满秩的)\)

逆矩阵

\[A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=I,则B(\lambda) = A(\lambda)^{-1} \]

• \(对于数字矩阵,满秩和可逆是等价的，但是对于\lambda矩阵不一定\)
• \(n阶\lambda矩阵A(\lambda)可逆的充要条件是A(\lambda)的行列式是一个非零常数\)

史密斯标准型

\(设A(\lambda)\in P(\lambda)^{m\times n}且R(A(\lambda))=r,则A(\lambda)等价于如下对角型,称为A(\lambda)的史密斯标准型\)

\[A(\lambda)=\begin{pmatrix} d_1(\lambda) & ...\\ ...& d_1(\lambda) & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ ...& ... &... & d_1(\lambda) & ...\\ ...& ... &... & ... & 0 & ...\\ ...& ... &... & ... & ... & ... & ...\\ ...& ... &... & ... & ... & ...& 0\\ \end{pmatrix}\]

\(其中d_i(\lambda)是首相系数为1的多项式,且d_{i-1}(\lambda)能整除d_i(\lambda),记为d_{i-1}(\lambda)|d_i(\lambda)\)

• \(A(\lambda)的史密斯标准型是唯一的\)

不变因子和初等因子

不变因子

\(A(\lambda)矩阵化为史密斯标准型后，其对角线元素d_{1}(\lambda),d_{2}(\lambda),...,d_{n}(\lambda)称为A(\lambda)的不变因子\)
\(不变因子都是以首项系数为1的\lambda的多项式\)

\[\begin{cases} d_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{12}}...(\lambda-\lambda_s)^{e_{1s}}\\ d_2(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{21}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{22}}...(\lambda-\lambda_s)^{e_{2s}}\\ ...\\ d_r(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{r1}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{r2}}...(\lambda-\lambda_s)^{e_{rs}} \end{cases}\]

\(\lambda_1,...,\lambda_r是d(\lambda)中一切相异的根，有可能是复数，由于d_i(\lambda)能被d_{i-1}(\lambda)整除，所以有关系式\)
\(0\le e_{1j}\le e_{2j}\le ... \le e_{rj}\)$$
\(也就是说e_{ij}(1\le i <r ,1\le j <s)可能为零,但是e_{r1},e_{r2},...,e_{rs}无一为零\)

行列式因子

\(史密斯标准型的各阶行列式因子如下,r是秩\)

\[\begin{cases}D_1(\lambda)=d_1(\lambda)\\ D_2(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\\ ...\\ D_r(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)...d_r(\lambda) \end{cases}\]

初等因子

\(当e_{ij}\ne 0,称(\lambda-\lambda_j)^{e_{ij}}的全体叫做A(\lambda)的初等因子\)

初等因子的计算

方法1-初等变化为史密斯标准型

• 1.\(对调两行/列\)
• 2.\(用一个不为零的数k乘任一行/列的所有元素\)
• 3.\(用\lambda的多项式\phi(\lambda)乘某行/列的所有元素,并加到另外一行/列的对应元素上\)

方法2-求行列式因子

• 1.\(找出\lambda I-A的各阶行列式因子D_i(\lambda),i=1,2,...\)
• 2.\(再用行列式因子公式(上面有)求不变因子\)
• 3.\(最后根据不变因子得到初等因子\)

相抵/等价

• \(相抵的充要条件是有相同的行列式因子或者不变因子\)
• \(相抵的充要条件是有相同的秩和相同的初等因子\)

任意矩阵的相似问题

\(\lambda矩阵的多项式表示\)

数字矩阵和\(\lambda\)矩阵的关系

• \(任意两个数字方阵A与B相似的充要条件是他们的特征矩阵(\lambda I -A,\lambda I -B)是相抵的\)

若尔当矩阵

• \(每个n阶矩阵A都与一个若尔当标准型J相似,且这个若尔当标准型在不计其中若尔当块的排列次序时，完全由矩阵A唯一决定(即每个矩阵都有若尔当标准型)\)

若尔当标准型的计算方式

方法1

• 1.\(求出n阶方阵A=(a_{ij})的特征矩阵\lambda I-A的初等因子\)

\[(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_1)^{m_2},...,(\lambda-\lambda_1)^{m_t} \]

\(其中\lambda_i 可能是相同的，指数m_i也可能是相同的,有\sum\limits_{i=1}^t m_i=n\)

• 2.\(写出每个初等因子(\lambda-\lambda_i)^{m_i},i=1,2,...,t对应的若尔当块\)

\[J=\begin{pmatrix} \lambda_i & 1 \\ & \lambda_i & 1\\ & &... & 1\\ & & & \lambda_i \end{pmatrix},i=1,2,...,t\]

• 3.\(写出这些若尔当块构成的若尔当标准型\)

\[J=\begin{pmatrix} J_i \\ & J_2 \\ & & ...\\ & & & J_t\\ \end{pmatrix}\]

注意

一定要求初等因子，不能只求特征方程的根
\(例,A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2\\ \end{bmatrix},求A的若尔当标准型\)
\(\lambda I -A =\begin{bmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ 2 & \lambda+1 & -2 \\ -1 & 1 & \lambda-2\\ \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0& (\lambda-1)^2\\ \end{bmatrix}\)
\(如果光看特征多项式的根的话,\lambda=1,可能就得到的若尔当标准型是 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1& 1 \\ 0 & 0& 1\\ \end{bmatrix}\)
\(但实际根据初等因子,\lambda-1 ,(\lambda-1)^2,分别对应两个若尔当块, \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix},再组合起来才是对的\)

方法2-分块矩阵

\(若A可以分块，A=\begin{pmatrix} A_1 & \\ & A_2 \end{pmatrix}，则可以分别求分块矩阵的若尔当标准型A_1\sim J_1,A_2\sim J_2\)
\(就有J=\begin{pmatrix} J_1 & \\ & J_2 \end{pmatrix}\)

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