1.λ矩阵,多项式矩阵
带参数的多项式矩阵又叫λ矩阵
A=⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝a11(λ)a12(λ)...a1n(λ)......an1(λ)an2(λ)...ann(λ)⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠
特征矩阵λI−A是特殊的λ矩阵
λ矩阵的秩
至少有一个r阶子式不是零多项式,则r为A的秩
特征矩阵λI−A=λn+c1λn−1+...+cn,肯定不是零多项式,所以特征矩阵是满秩的(注意,这不代表A是满秩的)
逆矩阵
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I,则B(λ)=A(λ)−1
- 对于数字矩阵,满秩和可逆是等价的,但是对于λ矩阵不一定
- n阶λ矩阵A(λ)可逆的充要条件是A(λ)的行列式是一个非零常数
史密斯标准型
设A(λ)∈P(λ)m×n且R(A(λ))=r,则A(λ)等价于如下对角型,称为A(λ)的史密斯标准型
A(λ)=⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝d1(λ)......d1(λ)........................d1(λ)...............0..........................................0⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
其中di(λ)是首相系数为1的多项式,且di−1(λ)能整除di(λ),记为di−1(λ)|di(λ)
- A(λ)的史密斯标准型是唯一的
不变因子和初等因子
不变因子
A(λ)矩阵化为史密斯标准型后,其对角线元素d1(λ),d2(λ),...,dn(λ)称为A(λ)的不变因子
不变因子都是以首项系数为1的λ的多项式
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩d1(λ)=(λ−λ1)e11(λ−λ2)e12...(λ−λs)e1sd2(λ)=(λ−λ1)e21(λ−λ2)e22...(λ−λs)e2s...dr(λ)=(λ−λ1)er1(λ−λ2)er2...(λ−λs)ers
λ1,...,λr是d(λ)中一切相异的根,有可能是复数,由于di(λ)能被di−1(λ)整除,所以有关系式
0≤e1j≤e2j≤...≤erj$$
也就是说eij(1≤i<r,1≤j<s)可能为零,但是er1,er2,...,ers无一为零
行列式因子
史密斯标准型的各阶行列式因子如下,r是秩
⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩D1(λ)=d1(λ)D2(λ)=d1(λ)d2(λ)...Dr(λ)=d1(λ)d2(λ)...dr(λ)
初等因子
当eij≠0,称(λ−λj)eij的全体叫做A(λ)的初等因子
初等因子的计算
方法1-初等变化为史密斯标准型
- 1.对调两行/列
- 2.用一个不为零的数k乘任一行/列的所有元素
- 3.用λ的多项式ϕ(λ)乘某行/列的所有元素,并加到另外一行/列的对应元素上
方法2-求行列式因子
- 1.找出λI−A的各阶行列式因子Di(λ),i=1,2,...
- 2.再用行列式因子公式(上面有)求不变因子
- 3.最后根据不变因子得到初等因子
相抵/等价
- 相抵的充要条件是有相同的行列式因子或者不变因子
- 相抵的充要条件是有相同的秩和相同的初等因子
任意矩阵的相似问题
λ矩阵的多项式表示
数字矩阵和λ矩阵的关系
- 任意两个数字方阵A与B相似的充要条件是他们的特征矩阵(λI−A,λI−B)是相抵的
若尔当矩阵
- 每个n阶矩阵A都与一个若尔当标准型J相似,且这个若尔当标准型在不计其中若尔当块的排列次序时,完全由矩阵A唯一决定(即每个矩阵都有若尔当标准型)
若尔当标准型的计算方式
方法1
- 1.求出n阶方阵A=(aij)的特征矩阵λI−A的初等因子
(λ−λ1)m1,(λ−λ1)m2,...,(λ−λ1)mt
其中λi可能是相同的,指数mi也可能是相同的,有t∑i=1mi=n
- 2.写出每个初等因子(λ−λi)mi,i=1,2,...,t对应的若尔当块
J=⎛⎜
⎜
⎜⎝λi1λi1...1λi⎞⎟
⎟
⎟⎠,i=1,2,...,t
- 3.写出这些若尔当块构成的若尔当标准型
J=⎛⎜
⎜
⎜⎝JiJ2...Jt⎞⎟
⎟
⎟⎠
注意
一定要求初等因子,不能只求特征方程的根
例,A=⎡⎢⎣2−1−12−1−2−112⎤⎥⎦,求A的若尔当标准型
λI−A=⎡⎢⎣λ−2−1−12λ+1−2−11λ−2⎤⎥⎦→⎡⎢⎣1000λ−1000(λ−1)2⎤⎥⎦
如果光看特征多项式的根的话,λ=1,可能就得到的若尔当标准型是⎡⎢⎣110011001⎤⎥⎦
但实际根据初等因子,λ−1,(λ−1)2,分别对应两个若尔当块,[1],[1101],再组合起来才是对的
方法2-分块矩阵
若A可以分块,A=(A1A2),则可以分别求分块矩阵的若尔当标准型A1∼J1,A2∼J2
就有J=(J1J2)
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