1.矩阵的三种性质
等价/相抵,A∼B
有可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B
相似
有可逆矩阵P,使得PAP−1=B
可对角化
- 对称矩阵必能对角化,且是正交对角化(哪怕特征值有重根)−线性代数P148定理8
- 可对角化充要条件:所有特征向量线性无关
- 可对角化充要条件:所有特征值的几何重复度=代数重复度
- 舒尔定理的推论:对称矩阵必能对角化,且是正交对角化,对角元素都是实数
- 任意两个数字方阵A与B相似的充要条件是他们的特征矩阵(λI−A,λI−B)是相抵的−涉及到λ矩阵的知识
- 可对角化的充要条件是A的特征矩阵λI−A的初等因子全为一次式(也就是没有重根,最高次项是1)
- 可正交对角化的充要条件是A为正规矩阵
求对角矩阵就是求特征值和特征向量
合同/相合
有A,B两个n阶方阵,如有非奇异n阶方阵C,使得B=CTAC
- 同一个线性空间中的不同基的度量矩阵是不同的,但是他们是相合的
2.特殊矩阵
正交矩阵
ATA=E,AT=A−1
- 若A与B都是n阶正交矩阵,证明AB也是正交矩阵−线性代数p162
- 舒尔定理:任何n阶方阵,都酋相似(实数域−正交相似)于一个上三角阵,即存在一个n解酋矩阵(实数域−正交矩阵)U和一个上三角矩阵T,使得
UHAU=T或者A=UTUH,(UH在实数域上就是指转置)
- 舒尔定理的推论:对称矩阵必能对角化,且是正交对角化,对角元素都是实数
对称矩阵
- 舒尔定理的推论:对称矩阵必能对角化,且是正交对角化,对角元素都是实数
- 设A是n阶对称矩阵,则有
λmin(A)I⪯A⪯λmax(A)I
其中λmin(A),λmax(A)是A的最小和最大特征值
瑞丽商
设A为n阶对称矩阵,∀x∈Cn,x≠0,称下式为对称矩阵A的瑞丽商
R(x)=xTAxxTx,x≠0
- R(kx)=R(x),k∈C,k≠0
- λn≤R(x)≤λ1,特征值λ1≥λ2≥...≥λn
- λ1=maxx≠0R(x),λn=minx≠0R(x)
单纯矩阵
几何重复度=代数重复度的矩阵,即可对角化的矩阵是单纯矩阵,或者说所有的特征向量都线性无关的矩阵是单纯矩阵
伴随矩阵
正定,半正定矩阵,二次型
- 矩阵的所有特征值均为正数⇔正定矩阵
- 矩阵正定的充要条件是:各阶顺序主子式都是正数
- 对称矩阵正定的充要条件是:各阶主子式都是正数
- 正定矩阵的二次型是正数,即f=xTAx是正数
- 惯性定理
设有二次型f=xTAx,秩为r,有两个实的可逆变换
x=Cy,,x=Pz
有f=k1y21+k2y22+...+kry2r
有f=λ1z21+λ2z22+...+λrz2r
则k中的正数和λ中的正数个数相等
- 霍尔维茨定理:对称矩阵A为负定的充要条件:奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正
- 二次型f=xTAx在||A||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值−线性代数p163
- U可逆矩阵,A=UTU,则f=xTAx是正定二次型−线性代数p163
- A为正定矩阵,则必有可逆矩阵U,使得A=UTU−线性代数p163
- 矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在n阶非奇异矩阵P,使得A=PHP−矩阵论定理1.3.4
- 矩阵A为半正定矩阵的充要条件是存在n阶矩阵P(可以是奇异矩阵),使得A=PHP−矩阵论定理1.3.4′
- 若A≻0,则A可逆且A−1≻0
- 若A≻0,C是任一n阶非奇异矩阵,则CHAC≻0
- 若A⪰0,C是任一n阶矩阵,则CHAC⪰0
正规矩阵
设A是方阵,则有如下形式的称为正规矩阵
AAT=ATA
- 对称矩阵,正交矩阵都是实正规矩阵
- 正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵
亏损矩阵,非亏损矩阵
亏损矩阵是指:n阶矩阵A若有n个线性无关的特征向量,称A为非亏损矩阵,即A有完备的线性无关的特征向量系,反之称A为亏损矩阵。
3.矩阵的性能指标
3.1 秩
- 若矩阵B能由矩阵A线性表示,则R(B)≤R(A)
- C=AB,则R(C)≤R(A),R(C)≤R(B),或者说R(C)≤min{R(A),R(B)}
- R(A)+R(B)≥R(A+B)
- 若AB=O,R(A)+R(B)≤n,(A,B都是n阶方阵)−线性代数P129习题21
- n阶方阵,满秩⇔向量组线性无关⇔行列式≠0⇔非奇异⇔可逆⇔Ax=b方程组有唯一解,这几个概念是等价的
- 0≤R(A)≤min(n,m)
- R(A∗)=R(A)
- R[AC0B]≥R[A00B]=R(A)+R(B)
- 设A为n×m矩阵,P,Q分别为n,m阶非奇异方阵,则有(即将非奇异方阵左乘或右乘矩阵上,其秩不变)
R(PA)=R(AQ)=R(A)
- A为n×m矩阵,B为m×p矩阵,则有
R(A)+R(B)≤R(AB)+m
- 设实矩阵A∈Rm×n,有R(A)=R(ATA)=R(AAT)
3.2 特征值
特征值
- 特征值之和=tr(A)
- 特征值之积=|A|
- λ是A的特征值,则λ2是A2的特征值,扩展出来,λk是Ak的特征值
- 若λ1,λ2,...,λm是A的特征值,且互不相同,则对应的特征向量p1,p2,..,pm线性无关
- 设λ1,...,λr是矩阵A的互异特征值,x(1)1,...,x(1)si是属于λi的线性无关的特征向量,则
x11,...,x1s1,x21,...,x2s2,...,xr1,...,xrsr也线性无关
- 相似矩阵的特征值相同
- 对称矩阵的特征值为实数
- 若对称矩阵A的特征值λ1≠λ2,则对应的特征向量p1,p2正交
- 设A为n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量
解释一下,r重根是指,比如3重根,也就是有3个特征值是一样的
- 设A是n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,有P−1AP=Λ,Λ就是A的特征值组成的对角矩阵(一句话,对称矩阵必可以正交对角化)
- ||A|E|=|A|n
- 若A,B为同阶方阵,AB,BA的特征值相同−矩阵论例1.1.34
- 若AB=BA,则A,B有公共的特征向量
特征向量
特征多项式
- f(λ)=|A−λE|=a0+a1λ+...+anλn
- |A−λE|=λn+n∑k=1(−1)kbkλn−k=λn−(a11+a22+...+ann)λn−1+...+(−1)ndetA
其中bk(k=1,2,...,n)是A的所有k阶主子式之和,特别的有
b1=a11+a22+...+ann,bn=|A|
特征方程|A−λE|=0
特征多项式的性质
- 特征多项式=0
- Caley-Hamilton定理:若f(λ)是矩阵A的特征多项式,则f(A)=O
特征值计算
- 解特征方程|A−λE|=0
- 矩阵LU分解等等
3.3 迹
- tr(AB)=tr(BA),AB为m阶方阵,BA是n阶方阵
3.4 行列式
- |AB|=|A||B|
- 行列式=任一一行个元素与其代数余子式乘积之和:D=a1jA1j+...+anjAnj
- Binet-Cauchy公式设A,B各为n×m,m×n的矩阵,则有
det(AB)=⎧⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪⎩0当n>mdet(A)det(B)当n=m∑1≤j1<...<jn≤mdetA(12...nj1j2...jn)detB(j1j2...jn12...n)当n<m
- A非奇异,A−1=1|A|A∗
4.矩阵运算
4.1逆矩阵
- 1.伴随矩阵计算
- 2.高斯消元法-矩阵的初等变换
- 3.det(A−1)=det(A)−1
5.线性空间
直和
如果V1+V2中的任一向量只能唯一的表示为子空间V1的一个行李与子空间V2的一个向量的和,则称V1+V2为直和(或直接和),记为V1⊕V2
-
V1⊕V2为直和的充要条件是:V1∩V2={0}
-
V1⊕V2为直和的充要条件是:dim(V1+V2)=dimV1+dimV2
-
维数公式:设V1,V2是数域P上的线性空间V的两个子空间,则
dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
V1+V2是指两者的和空间
特征空间
- 任一特征值的几何重复度不大于它的代数重复度
- n阶矩阵的每一个特征值的代数重复度等于几何重复度,则A的n个特征向量都线性无关
6.內积空间
柯西不等式
- |(x,y)|≤|x||y|
- |x+y|≤|x|+|y|
- |x+y+...,+z)|≤|x|+|y|+...+|z|
- 若x,y正交,|x+y|2=|x|2+|y|2
- 若x,y正交,|x+y+...,+z|2≤|x|2+|y|2+...+|z|2
度量矩阵/Gram矩阵
- 度量矩阵是由基的內积各种排列组合组成的
- 度量矩阵是正定的
7.矩阵不等式
若A−B⪰0,则称A大于或者等于B,有任意向量x,xTAx≥xTBx
若A,B都是实对角矩阵,A=diag(a1,a2,...,an),B=diag(b1,b2,...,bn),则有A⪰B⇒ai≥bi
- 若A⪰B,B⪰C,则有A⪰C
- 若A⪰B,k为正数,则有kA⪰kB
- 若A1⪰B1,A2⪰B2,则有A1+A2⪰B1+B2
- 若A⪰B,P为n×m矩阵,则有PTAP⪰PTBP
- 若A,B为同阶正定矩阵,A⪰B,则有B−1⪰A−1
- 矩阵型的施瓦茨不等式
BTB⪰(AB)T(AAT)−1(AB)
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