矩阵相关总结

1.矩阵的三种性质

/,AB

P,Q,使PAQ=B

P,使PAP1=B

可对角化

  • ,()线P1488
  • :线
  • :=
  • :,,
  • AB(λIA,λIB)λ
  • AλIA(1)
  • A

求对角矩阵就是求特征值和特征向量

/

ABn,nC使B=CTAC

  • 线

2.特殊矩阵

正交矩阵

ATA=E,AT=A1

  • ABn,AB线p162
  • :n,(),n()UT,使

UHAU=TA=UTUH,(UH)

  • :,,

对称矩阵

  • :,,
  • An,

λmin(A)IAλmax(A)I

λmin(A),λmax(A)A

瑞丽商

An,xCn,x0,A

R(x)=xTAxxTx,x0

  • R(kx)=R(x),kC,k0
  • λnR(x)λ1,λ1λ2...λn
  • λ1=maxx0R(x),λn=minx0R(x)

单纯矩阵

=,,线

伴随矩阵

正定,半正定矩阵,二次型

  • :
  • :
  • ,f=xTAx
  • 惯性定理
    f=xTAx,r
    x=Cy,,x=Pz
    f=k1y12+k2y22+...+kryr2
    f=λ1z12+λ2z22+...+λrzr2
    kλ
  • 霍尔维茨定理:A:
  • f=xTAx||A||=1A线p163
  • UA=UTU,f=xTAx线p163
  • AU使A=UTU线p163
  • AnP,使A=PHP1.3.4
  • AnP(),使A=PHP1.3.4
  • A0,AA10
  • A0,Cn,CHAC0
  • A0,Cn,CHAC0

正规矩阵

A

AAT=ATA

  • A

亏损矩阵,非亏损矩阵

nAn线AA线A

3.矩阵的性能指标

3.1 秩

  • BA线R(B)R(A)
  • C=ABR(C)R(A),R(C)R(B),R(C)min{R(A),R(B)}
  • R(A)+R(B)R(A+B)
  • AB=O,R(A)+R(B)n,(A,Bn)线P12921
  • n,线0Ax=b
  • 0R(A)min(n,m)
  • R(A)=R(A)
  • R[AC0B]R[A00B]=R(A)+R(B)
  • An×m,P,Qn,m()

R(PA)=R(AQ)=R(A)

  • An×m,Bm×p,

R(A)+R(B)R(AB)+m

  • ARm×n,R(A)=R(ATA)=R(AAT)

3.2 特征值

特征值

  • =tr(A)
  • =|A|
  • λA,λ2A2,λkAk
  • λ1,λ2,...,λmA,,p1,p2,..,pm线
  • λ1,...,λrA,x1(1),...,xsi(1)λi线,

x11,...,xs11,x12,...,xs22,...,x1r,...,xsrr线

  • Aλ1λ2p1,p2
  • AnλAr,λr线
    ,r33
  • AnP,P1AP=Λ,ΛA()
  • ||A|E|=|A|n
  • A,B,ABBA1.1.34
  • AB=BA,AB

特征向量

特征多项式

  • f(λ)=|AλE|=a0+a1λ+...+anλn
  • |AλE|=λn+k=1n(1)kbkλnk=λn(a11+a22+...+ann)λn1+...+(1)ndetA
    bk(k=1,2,...,n)Ak,

b1=a11+a22+...+ann,bn=|A|

特征方程|AλE|=0

特征多项式的性质

  • 特征多项式=0
  • Caley-Hamilton定理:f(λ)A,f(A)=O

特征值计算

  • |AλE|=0
  • 矩阵LU分解等等

3.3 迹

  • tr(AB)=tr(BA),ABmBAn

3.4 行列式

  • |AB|=|A||B|
  • =:D=a1jA1j+...+anjAnj
  • Binet-Cauchy公式A,Bn×m,m×n

det(AB)={0n>mdet(A)det(B)n=m1j1<...<jnmdetA(12...nj1j2...jn)detB(j1j2...jn12...n)n<m

  • A,A1=1|A|A

4.矩阵运算

4.1逆矩阵

  • 1.伴随矩阵计算
  • 2.高斯消元法-矩阵的初等变换
  • 3.det(A1)=det(A)1

5.线性空间

直和

V1+V2V1V2,V1+V2(),V1V2

  • V1V2:V1V2={0}

  • V1V2:dim(V1+V2)=dimV1+dimV2

  • 维数公式:V1V2P线V

dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2)

V1+V2

特征空间

  • 任一特征值的几何重复度不大于它的代数重复度
  • nAn线

6.內积空间

柯西不等式

  • |(x,y)||x||y|
  • |x+y||x|+|y|
  • |x+y+...,+z)||x|+|y|+...+|z|
  • x,y,|x+y|2=|x|2+|y|2
  • x,y,|x+y+...,+z|2|x|2+|y|2+...+|z|2

度量矩阵/Gram矩阵

  • 度量矩阵是由基的內积各种排列组合组成的
  • 度量矩阵是正定的

7.矩阵不等式

AB0,AB,x,xTAxxTBx
A,B,A=diag(a1,a2,...,an),B=diag(b1,b2,...,bn),ABaibi

  • AB,BC,AC
  • AB,k,kAkB
  • A1B1,A2B2,A1+A2B1+B2
  • AB,Pn×m,PTAPPTBP
  • A,B,AB,B1A1
  • 矩阵型的施瓦茨不等式

BTB(AB)T(AAT)1(AB)

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