概率图模型-4.马尔科夫随机场

图像去噪案例

几个概念

联合概率分布
归一化因子/配分函数 - 作用：使得\(p(x_1,...,x_n)\)这个分布满足概率=1的要求
最后一个公式，也可以通过\(\tilde p(x_1,...,x_n) 计算归一化因子\)
势函数

归一化因子怎么求？图中有

这张图里面的边缘概率\(p(A,B)\)是从上一张图中的右边表格算出来的
\(a=0,b=0,300000+300000+300000+30=900030，0.124972229319174\)
\(a=0,b=1,500+500+5000000+500=5001500，0.694475300756473\)
\(a=1,b=0,100+1000000+100+100=1000300，0.138895060151295\)
\(a=1,b=1,10+100000+100000+100000=300010，0.041657409773058\)
\(总和=7201840\)
\(边缘概率和势函数\phi无关\)
\(因为局部势函数不考虑全局，只考虑A,B,边缘概率是在联合概率分布做边缘化的结果,不止考虑A，B，也考虑了C，D的影响,边缘概率是全局的计算,两者没有直接的联系\)

节点上也可以有势函数，可以定义也可以不定义，看建模情况，看这个图，有点像先验分布

马尔科夫随机场的应用

成对马尔科夫随机场也称为网格马尔科夫随机场
成对马尔科夫随机场联合概率分布可以表示成节点势函数的连乘积 再乘以 边上的势函数的连乘积
\(V\)代表马尔科夫随机场的节点的集合,\(E\)是图模型中的边的集合

能量最小化问题在一些文献中经常出现

两个节点的MRF求解

左边上下两部分都是给定的，右边是推导出来的
0,0 的情况下，能量函数0.95最小

相邻的像素认为具有连续性，所以这个矩阵的意思是两个像素都为前景或者背景的惩罚低，跳变的惩罚高
节点势函数是先验知识，像素较按，靠近背景色的势函数低，

图像去噪

\(E(x)的后一项是 去躁前和去躁后的联合分布，要求这个分布不发生太大的变化\)
\(往往取下面的min 那个公式，公式意思是，连续两个像素一样，则惩罚项是0，相邻像素点的，像素取值相差=1，惩罚=1，差值为2，惩罚2，差值很大，就截断\)

\(节点的势函数,y_p是输入的噪声图像\)