Kalman Filter-2进阶

1.状态空间表达式

$x_k是当前状态的状态值,k是当前值,x_{k-1}上一个时刻该状态的值$
$u_k，x_k的输入$
$w_k 过程噪声$
$A状态转移矩阵$
$B控制矩阵$
$y_k观测量$
$v_k观测噪声，和观测器的误差有关$
$C某种关系$

案例

火炉对水加热

$y_k 观测器(温度计)的观测值$
$x_k 实际的水温(状态的实际值)$
$C=1 假设线性变化$
$x_{k-1}上一时刻的水温$
$A=单位阵,假设加热过程是线性的$
$Bu_k=\Delta T 单位时刻增加的水温$
$w_k外界对加热系统的干扰，噪声$

$所以有$
$\begin{cases} x_k = x_{k-1} +\Delta T +w_k\\ y_k = x_k + v_k \end{cases}$

系统方程方框图

2.高斯分布

直观图解

参数分析

误差,噪声，方差

exp这里举了一个gps的例子

方差

噪声的方差 $Q_k,R_k$
状态的方差/估计值的方差$\hat x_t$,状态本身也是服从正态分布的,自己也有方差
观察可能是多维的，多维就是协方差矩阵

3.超参数

Q-过程噪声的方差
R-观察噪声的方差
这两个是要自己调的,超参数

4.卡尔曼直观图解

$\rho是概率密度$
$\hat x_{k-1}是前一时刻的最优估计值，也就是修正值，也叫后验估计值$
$\hat x_{k}^- 这个有-的是先验估计值,是当前时刻的$
$y_k是当前时刻的观测值,这里可以y_k=x_k 也就是传感器测量出来的值$
$\hat x_{k}^-是基于上一时刻\hat x_{k-1}估计出来的估计值$
$还缺一个值\hat x_{k}，当前时刻的最优估计值,也就是滤波后的值$
$因为滤波后的方差变小了,更加光滑了$

$当前的最优估计值\hat x_{k}是由 \hat x_{k}^- 和观察值y_k计算出来的$